Em um circuito elétrico, a resistência (
) age como um “freio” que limita o fluxo da corrente, convertendo a energia em calor; quanto maior a resistência, menor a corrente. A capacitância (C), por outro lado, representa a capacidade de um componente (o capacitor) de armazenar energia em um campo elétrico, funcionando como uma espécie de “reservatório” temporário para a carga elétrica. A tensão (
ou V) é a “força” ou a diferença de potencial que impulsiona a corrente a se mover através do circuito, do ponto de maior energia para o de menor energia. Juntas, essas três grandezas são fundamentais para entender como os circuitos elétricos funcionam, controlando o fluxo e o armazenamento de energia.
Considere um circuito RC em série, onde a equação para a carga no capacitor,
, é dada por
, onde
é a resistência,
é a capacitância e
é a tensão da fonte. Se
, e a tensão da fonte é
, e o capacitor está inicialmente descarregado, encontre a carga no capacitor no tempo
.
Considere um circuito RC em série, onde a equação para a carga no capacitor,
Passo 1
O enunciado fornece uma equação diferencial para a carga no capacitor e pede a carga
ao longo do tempo. Informações dadas:
Observação: há um pequeno erro de escrita na equação do enunciado. Vou interpretá‑la da forma padrão para circuitos
:
Dados numéricos fornecidos:
e condição inicial:
Pergunta: encontre
para
.
Passo 2
Colocando a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem: dividimos por
para obter
Aqui cada termo significa:
-
é a taxa de variação da carga — isto é a corrente no circuito; -
é o coeficiente que determina a velocidade com que o sistema se aproxima do regime estacionário; -
é a fonte dividida pela resistência — para constante, é uma constante.
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calculemos
:
Portanto a equação fica
Calculando o lado direito:
Logo a equação reduz-se a
Passo 3
Vou resolver a equação linear de primeira ordem
Método: fator integrante. Para uma equação da forma
, o fator integrante é
Aqui
(constante), então
Passo 4
Multiplicamos toda a equação por
:
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, porque
Portanto obtemos
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
Isto dá
onde
é a constante de integração. Agora isolamos
:
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
:
Substituindo
na solução:
A unidade aqui é coulomb (
), pois
é carga. Então podemos escrever
Passo 7
Interpretação física rápida (útil para a prova): a carga tende exponencialmente ao valor final
. De fato o valor final é
e o tempo característico (constante de tempo) é
Ou seja, após
a carga atinge cerca de
do valor final. Essa forma geral também aparece frequentemente na prova: