Em um circuito elétrico, a resistência ( R ) age como um “freio” que limita o fluxo da corrente, convertendo a energia em calor; quanto maior a resistência, menor a corrente. A capacitância (C), por outro lado, representa a capacidade de um componente (o capacitor) de armazenar energia em um campo elétrico, funcionando como uma espécie de “reservatório” temporário para a carga elétrica. A tensão ( E ou V) é a “força” ou a diferença de potencial que impulsiona a corrente a se mover através do circuito, do ponto de maior energia para o de menor energia. Juntas, essas três grandezas são fundamentais para entender como os circuitos elétricos funcionam, controlando o fluxo e o armazenamento de energia.
Considere um circuito RC em série, onde a equação para a carga no capacitor, q(t), é dada por R \frac{d t}{d q}+\frac{1}{C} q= E(t), onde R é a resistência, C é a capacitância e E(t) é a tensão da fonte. Se R=10 \Omega, C=0,1 F, e a tensão da fonte é E(t)=10 \mathrm{~V}, e o capacitor está inicialmente descarregado, encontre a carga no capacitor no tempo t.

Passo 1

O enunciado fornece uma equação diferencial para a carga no capacitor e pede a carga q(t) ao longo do tempo. Informações dadas:
R\frac{d t}{d q}+\frac{1}{C}q=E(t)
Observação: há um pequeno erro de escrita na equação do enunciado. Vou interpretá‑la da forma padrão para circuitos RC:
R\frac{dq}{dt}+\frac{1}{C}q=E(t).
Dados numéricos fornecidos:
R=10\\ \Omega,\qquad C=0,1\\ \mathrm{F},\qquad E(t)=10\\ \mathrm{V},
e condição inicial:
q(0)=0.
Pergunta: encontre q(t) para t\ge 0.

Passo 2

Colocando a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem: dividimos por R para obter
\frac{dq}{dt}+\frac{1}{RC}\,q=\frac{E(t)}{R}.
Aqui cada termo significa:
  • \frac{dq}{dt} é a taxa de variação da carga — isto é a corrente i(t) no circuito;
  • \frac{1}{RC} é o coeficiente que determina a velocidade com que o sistema se aproxima do regime estacionário;
  • \frac{E(t)}{R} é a fonte dividida pela resistência — para E constante, é uma constante.
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calculemos RC:
RC = 10\\ \Omega \cdot 0,1\\ \mathrm{F} = 1\\ \mathrm{s}.
Portanto a equação fica
\frac{dq}{dt}+1\cdot q = \frac{10\\ \mathrm{V}}{10\\ \Omega}.
Calculando o lado direito:
\frac{10\\ \mathrm{V}}{10\\ \Omega}=1\\ \mathrm{A}.
Logo a equação reduz-se a
\frac{dq}{dt}+q=1.

Passo 3

Vou resolver a equação linear de primeira ordem
\frac{dq}{dt}+q=1.
Método: fator integrante. Para uma equação da forma \frac{dq}{dt}+p(t)q=g(t), o fator integrante é
\mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}.
Aqui p(t)=1 (constante), então
\mu(t)=e^{\int 1\,dt}=e^{t}.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por \mu(t)=e^{t}:
e^{t}\frac{dq}{dt}+e^{t}q=e^{t}\cdot 1.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto q(t)e^{t}, porque
\frac{d}{dt}\big(q(t)e^{t}\big)=e^{t}\frac{dq}{dt}+e^{t}q.
Portanto obtemos
\frac{d}{dt}\big(q(t)e^{t}\big)=e^{t}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
\int \frac{d}{dt}\big(q(t)e^{t}\big)\,dt = \int e^{t}\,dt.
Isto dá
q(t)e^{t}=e^{t}+K,
onde K é a constante de integração. Agora isolamos q(t):
q(t)=1+K e^{-t}.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial q(0)=0:
q(0)=1+K e^{0}=1+K=0 \quad\Rightarrow\quad K=-1.
Substituindo K na solução:
q(t)=1- e^{-t}.
A unidade aqui é coulomb ( \mathrm{C}), pois q é carga. Então podemos escrever
q(t)=\bigl(1- e^{-t}\bigr)\\ \mathrm{C}.

Passo 7

Interpretação física rápida (útil para a prova): a carga tende exponencialmente ao valor final C\cdot E. De fato o valor final é
C\cdot E = 0,1\\ \mathrm{F}\times 10\\ \mathrm{V} = 1\\ \mathrm{C},
e o tempo característico (constante de tempo) é
\tau = RC = 1\\ \mathrm{s}.
Ou seja, após t=\tau a carga atinge cerca de 1-e^{-1}\approx 0,632 do valor final. Essa forma geral também aparece frequentemente na prova:
q(t)=C E\bigl(1-e^{-t/(RC)}\bigr).

Resposta

q(t)=1-e^{-t}\\ \mathrm{C}

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