Resolva os problemas de valor inicial:
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}+\cos t y=e^{t^{2}+\operatorname{sen} t} \\\ y(0)=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial com a equação diferencial e a condição inicial abaixo:
\begin{cases} y'(t)+\cos t\,y(t)=e^{t^{2}+\sin t},\\[4pt] y(0)=2. \end{cases}
Pergunta: encontrar a função y(t) que satisfaça a equação diferencial para t na vizinhança de 0 e que satisfaça y(0)=2.]

Passo 2

Vamos usar o método do fator integrante (é o caminho direto quando a equação está na forma linear de primeira ordem). Primeiro identifiquemos claramente as funções que aparecem na forma padrão
y'(t)+p(t)\,y(t)=q(t).
Aqui temos
p(t)=\cos t,\qquad q(t)=e^{t^{2}+\sin t}.
Explico rapidamente o porquê do fator integrante: se multiplicarmos a equação por uma função \mu(t) escolhida apropriadamente, o lado esquerdo fica exatamente a derivada do produto \mu(t)y(t). A escolha padrão é
\mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}.
Isso transforma a equação em uma que podemos integrar diretamente.

Passo 3

Calculemos o fator integrante:
\int p(t)\,dt=\int \cos t\,dt=\sin t,
portanto
\mu(t)=e^{\sin t}.
Multiplicando a equação original por \mu(t) obtemos
e^{\sin t}y'(t)+\cos t\,e^{\sin t}y(t)=e^{\sin t}e^{t^{2}+\sin t}.
Agora note que a derivada de \mu(t) é \mu'(t)=\cos t\,e^{\sin t}, então o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto:
\bigl(e^{\sin t}y(t)\bigr)'=e^{\sin t}\bigl(y'(t)+\cos t\,y(t)\bigr).
Assim a equação fica
\bigl(e^{\sin t}y(t)\bigr)'=e^{t^{2}+2\sin t}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t. Usamos uma integral indefinida para escrever a solução geral:
e^{\sin t}y(t)=\int e^{t^{2}+2\sin t}\,dt + C,
onde C é constante de integração. Essa integral \int e^{t^{2}+2\sin t}\,dt não tem primitiva elementar conhecida (mistura e^{t^{2}} com funções trigonométricas), então deixamos como integral indefinida / definida. Para aplicar a condição inicial é prático usar a integral definida de 0 até t. Avaliando em t=0 temos \sin 0=0 e e^{\sin 0}=1, então
e^{\sin 0}y(0)=1\cdot 2=2.
Tomando a integral de 0 a t, obtemos
e^{\sin t}y(t)=2+\int_{0}^{t} e^{s^{2}+2\sin s}\,ds.
Finalmente isolamos y(t):
y(t)=e^{-\sin t}\!\left(2+\int_{0}^{t} e^{s^{2}+2\sin s}\,ds\right).
Essa expressão é a solução única do problema de valor inicial; a integral aparece porque não existe uma primitiva elementar simples para o integrando.

Passo 5

Pequena verificação e interpretação prática: a solução escrita satisfaz a condição inicial porque, ao substituir t=0, obtemos y(0)=e^{0}\bigl(2+0\bigr)=2. Se você precisar calcular valores numéricos na prova, deixe a resposta nessa forma com a integral definida; em uma prova escrita é aceitável quando a primitiva não é elementar. Se for pedido um valor numérico, aproxime numericamente a integral (por exemplo por séries ou métodos numéricos), mas para a maioria dos exercícios teóricos esta forma fechada com integral é a resposta final adequada.

Resposta

y(t)=e^{-\sin t}\!\left(2+\int_{0}^{t} e^{s^{2}+2\sin s}\,ds\right)

Exercícios relacionados