Resolva os problemas de valor inicial:
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial com a equação diferencial e a condição inicial abaixo:
Pergunta: encontrar a função
que satisfaça a equação diferencial para
na vizinhança de
e que satisfaça
.]
Passo 2
Vamos usar o método do fator integrante (é o caminho direto quando a equação está na forma linear de primeira ordem). Primeiro identifiquemos claramente as funções que aparecem na forma padrão
Aqui temos
Explico rapidamente o porquê do fator integrante: se multiplicarmos a equação por uma função
escolhida apropriadamente, o lado esquerdo fica exatamente a derivada do produto
. A escolha padrão é
Isso transforma a equação em uma que podemos integrar diretamente.
Passo 3
Calculemos o fator integrante:
portanto
Multiplicando a equação original por
obtemos
Agora note que a derivada de
é
, então o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto:
Assim a equação fica
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
. Usamos uma integral indefinida para escrever a solução geral:
onde
é constante de integração. Essa integral
não tem primitiva elementar conhecida (mistura
com funções trigonométricas), então deixamos como integral indefinida / definida. Para aplicar a condição inicial é prático usar a integral definida de
até
. Avaliando em
temos
e
, então
Tomando a integral de
a
, obtemos
Finalmente isolamos
:
Essa expressão é a solução única do problema de valor inicial; a integral aparece porque não existe uma primitiva elementar simples para o integrando.
Passo 5
Pequena verificação e interpretação prática: a solução escrita satisfaz a condição inicial porque, ao substituir
, obtemos
. Se você precisar calcular valores numéricos na prova, deixe a resposta nessa forma com a integral definida; em uma prova escrita é aceitável quando a primitiva não é elementar. Se for pedido um valor numérico, aproxime numericamente a integral (por exemplo por séries ou métodos numéricos), mas para a maioria dos exercícios teóricos esta forma fechada com integral é a resposta final adequada.