Represente graficamente e obtenha a série de Fourier de f(x)\) no intervalo dado:
\(f(x)= \begin{cases}0, & -2<x<-1 \\\\ -2, & -1 \leq x<0 \\\\ 1, & 0 \leq x<1 \\\\ 0, & 1 \leq x<2\end{cases}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) representar graficamente a função dada no intervalo fornecido e (2) obter a série de Fourier dessa função no intervalo. As informações que temos são os valores de [f(x)) no intervalo -2<x<2 (peça fundamental):
Vou assumir a extensão periódica de f\] com período \(T=4 (isto é o que se faz normalmente ao pedir a série de Fourier nesse intervalo [-2,2]). A tarefa é então encontrar os coeficientes da série de Fourier da função periódica de período 4 cuja “peça” em [-2,2) é a função acima, e também descrever o gráfico dessa peça e sua extensão periódica.]
Passo 2
Vamos revisar a fórmula da série de Fourier para uma função com período 2L. Aqui L=2 (pois o intervalo é [-2,2] e o período será 2L=4). A série de Fourier (forma seno-cosseno) é
Aqui L=2, então os argumentos trigonométricos serão \frac{n\pi x}{2}. Vou calcular a_0, a_n e b_n usando a definição da função por partes — como f é constante em cada subintervalo, as integrais serão fáceis de fazer.
Passo 3
Cálculo de a_0. Aplicando a fórmula com L=2,
a_0=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2} f(x)\,dx.
Como f(x) é zero em (-2,-1) e em (1,2), somente os intervalos [-1,0) e [0,1) contribuem:
Reescrevendo em termos de n (lembrando k=\dfrac{n\pi}{2}): \dfrac{\sin k}{k}=\dfrac{\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n\pi/2}=\dfrac{2\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n\pi}. Portanto
(Comentário didático: note que \cos\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big) é 0,\pm1 dependendo de n módulo 4. Isso faz com que b_n seja zero para muitos n; em particular, se n for múltiplo de 4 então \cos(n\pi/2)=1 e b_n=0, e se n\equiv 2\pmod{4} então \cos(n\pi/2)=-1 e b_n=\dfrac{6}{n\pi}.)
Passo 6
Juntando tudo: a série de Fourier da função (série trigonométrica com [L=2)) é
Para n ímpar: n=2m+1: \cos\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)=0\Rightarrow b_{2m+1}=\dfrac{3}{(2m+1)\pi}. \sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)=(-1)^m\Rightarrow a_{2m+1}=-\dfrac{(-1)^m}{(2m+1)\pi}.
Assim uma escrita alternativa (mais explícita) seria separar a soma sobre ímpares e sobre n\equiv2\pmod4, mas a forma geral acima é suficiente e compacta.]
Passo 7
Representação gráfica (descrição da peça fundamental e da extensão periódica):
No intervalo [-2,2) a função vale:
f(x)=0 em -2<x<-1;
f(x)=-2 em -1\le x<0 (observe que em x=-1 o valor é -2);
f(x)=1 em 0\le x<1 (em x=0 o valor é 1);
f(x)=0 em 1\le x<2 (em x=1 o valor é 0).
A extensão periódica tem período 4, então essas quatro “fatias” se repetem deslocadas por 4k, k\in\mathbb{Z}.
Comentário sobre pontos de descontinuidade e convergência da série: em pontos de descontinuidade (por exemplo x=0, x=-1, x=1, x=\pm2 na fronteira da peça) a série de Fourier converge para a média dos limites laterais, isto é, para \dfrac{f(x^-)+f(x^+)}{2}. Por exemplo em x=0 a média é \dfrac{-2+1}{2}=-\dfrac{1}{2}, e a série converge para esse valor no ponto de descontinuidade.
Resposta
Gráfico: extensão periódica de período 4. No intervalo [-2,2): f(x)=0 para -2<x<-1, f(x)=-2 para -1\le x<0, f(x)=1 para 0\le x<1, f(x)=0 para 1\le x<2.\n
Série de Fourier: