Represente graficamente (na reta real) seguintes conjuntos
-1,2] \backslash\left(\frac{1}{3}, 1\right)\).

Passo 1

O enunciado pede que eu represente graficamente, na reta real, o conjunto [-1,2] \setminus \left(\frac{1}{3},1\right).
Informações dadas:
  • O conjunto de partida é o intervalo fechado [-1,2], ou seja, todos os números reais x tais que -1 \le x \le 2.
  • Do conjunto [-1,2] devemos remover todos os pontos do intervalo aberto \left(\frac{1}{3},1\right), ou seja, todos os x tais que \frac{1}{3} < x < 1.
    Pergunta explícita: representar esse conjunto na reta real (ou seja: identificar quais subintervalos permanecem e como desenhá-los).

Passo 2

Vou lembrar o que significa a operação \setminus (diferença de conjuntos), explicando bem devagar.
Definição: para dois conjuntos A e B, o conjunto A \setminus B é o conjunto de todos os elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Em símbolos:
A \setminus B = \{x \mid x\in A \text{ e } x\notin B\}.
Exemplo rápido para fixar: se A=[0,3] e B=(1,2), então A\setminus B=[0,1]\cup[2,3]. Repare que os pontos 1 e 2 ficam em A porque B é aberto e não os inclui.

Passo 3

Aplicando essa ideia ao problema: queremos todos os x que estão em [-1,2] e não estão em \left(\frac{1}{3},1\right). Pense na reta real e marque os pontos-chave: -1, \frac{1}{3}, 1 e 2. Dentro de [-1,2] existe o subintervalo que coincide com \left(\frac{1}{3},1\right); ao remover esse subintervalo, sobra a parte à esquerda dele (desde -1 até \frac{1}{3}) e a parte à direita dele (desde 1 até 2).

Passo 4

Agora discutir inclusão/exclusão das extremidades com cuidado (isso é importante na prova):
  • O ponto \frac{1}{3} faz parte de [-1,2]. Como \frac{1}{3}\notin\left(\frac{1}{3},1\right) (esse intervalo é aberto e não inclui \frac{1}{3}), o ponto \frac{1}{3} permanece no conjunto final. Logo o trecho à esquerda termina em \frac{1}{3} com inclusão.
  • O ponto 1 também faz parte de [-1,2]. Como 1\notin\left(\frac{1}{3},1\right) (novamente porque o intervalo removido é aberto), o ponto 1 permanece no conjunto final. Logo o trecho à direita começa em 1 com inclusão.
    Portanto os dois pedaços que restam são intervalos fechados em suas extremidades internas junto ao buraco: [-1,\tfrac{1}{3}] e [1,2].

Passo 5

Expressando o conjunto resultante como união de intervalos:
[-1,2]\setminus\left(\frac{1}{3},1\right) = \left[-1,\frac{1}{3}\right]\cup[1,2].
Explicação curta: removemos apenas os pontos com \frac{1}{3}<x<1; todos os x com -1\le x\le\frac{1}{3} permanecem, e todos os x com 1\le x\le 2 permanecem.

Passo 6

Como representar isso graficamente na reta real (passo a passo para desenhar você mesmo na prova):
  1. Desenhe uma linha horizontal (reta real) e marque os pontos -1, \frac{1}{3}, 1 e 2 na ordem correta.
  2. No segmento de -1 até \frac{1}{3}, faça uma linha contínua e coloque círculos preenchidos (ou traço contínuo) em -1 e em \frac{1}{3} para indicar que esses extremos estão incluídos.
  3. Entre \frac{1}{3} e 1 deixe a reta sem preenchimento (intervalo removido). Não ponha círculos preenchidos nesse interior; apenas os pontos \frac{1}{3} e 1 estarão preenchidos nas extremidades.
  4. No segmento de 1 até 2, faça uma linha contínua com círculos preenchidos em 1 e em 2.
    Se quiser um símbolo visual, pense em: —[]○----○[]— onde os blocos [====] representam os trechos incluídos e ○ os pontos \frac{1}{3} e 1 (mas, atenção: na solução real, esses dois pontos devem ser preenchidos, isto é, mostrados como incluídos).

Resposta

\left[-1,\tfrac{1}{3}\right]\cup[1,2]

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