Represente graficamente (na reta real) seguintes conjuntos
Passo 1
O enunciado pede que eu represente graficamente, na reta real, o conjunto
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- O conjunto de partida é o intervalo fechado
, ou seja, todos os números reais tais que . - Do conjunto
devemos remover todos os pontos do intervalo aberto , ou seja, todos os tais que .
Pergunta explícita: representar esse conjunto na reta real (ou seja: identificar quais subintervalos permanecem e como desenhá-los).
Passo 2
Vou lembrar o que significa a operação
(diferença de conjuntos), explicando bem devagar.
Definição: para dois conjuntos e
, o conjunto
é o conjunto de todos os elementos que pertencem a
e não pertencem a
. Em símbolos:
Definição: para dois conjuntos
Exemplo rápido para fixar: se
e
, então
. Repare que os pontos
e
ficam em
porque
é aberto e não os inclui.
Passo 3
Aplicando essa ideia ao problema: queremos todos os
que estão em
e não estão em
. Pense na reta real e marque os pontos-chave:
,
,
e
. Dentro de
existe o subintervalo que coincide com
; ao remover esse subintervalo, sobra a parte à esquerda dele (desde
até
) e a parte à direita dele (desde
até
).
Passo 4
Agora discutir inclusão/exclusão das extremidades com cuidado (isso é importante na prova):
- O ponto
faz parte de . Como (esse intervalo é aberto e não inclui ), o ponto permanece no conjunto final. Logo o trecho à esquerda termina em com inclusão. - O ponto
também faz parte de . Como (novamente porque o intervalo removido é aberto), o ponto permanece no conjunto final. Logo o trecho à direita começa em com inclusão.
Portanto os dois pedaços que restam são intervalos fechados em suas extremidades internas junto ao buraco:e .
Passo 5
Expressando o conjunto resultante como união de intervalos:
Explicação curta: removemos apenas os pontos com
; todos os
com
permanecem, e todos os
com
permanecem.
Passo 6
Como representar isso graficamente na reta real (passo a passo para desenhar você mesmo na prova):
- Desenhe uma linha horizontal (reta real) e marque os pontos
, , e na ordem correta. - No segmento de
até , faça uma linha contínua e coloque círculos preenchidos (ou traço contínuo) em e em para indicar que esses extremos estão incluídos. - Entre
e deixe a reta sem preenchimento (intervalo removido). Não ponha círculos preenchidos nesse interior; apenas os pontos e estarão preenchidos nas extremidades. - No segmento de
até , faça uma linha contínua com círculos preenchidos em e em .
Se quiser um símbolo visual, pense em: —[]○----○[]— onde os blocos [====] representam os trechos incluídos e ○ os pontose (mas, atenção: na solução real, esses dois pontos devem ser preenchidos, isto é, mostrados como incluídos).