Considere t a variável independente e y=y(t). Quando for pedido retrato de fase, escreva x_{1}=y, x_{2}=y^{\prime} e analise o plano \left(x_{1}, x_{2}\right). Indique sempre que possível o tipo de equilíbrio (centro, foco estável, sela, etc.) e o comportamento quando t \rightarrow \infty.
EDOs de 2^{\underline{\text { a }}} ordem - classificação por estabilidade
Problema 1 (centro). Considere
(a) Escreva como sistema de (1^{\mathrm{a}}) ordem usando x_{1}=y, x_{2}=y^{\prime}. (b) Encontre a matriz do sistema e seus autovalores. (c) Descreva o retrato de fase no plano \left(y, y^{\prime}\right) e classifique o equilíbrio na origem.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
y'' + y = 0,
com condições iniciais y(0)=A e y'(0)=B. As tarefas pedidas são:
(a) escrever essa EDO como um sistema de primeira ordem usando x_{1}=y e x_{2}=y'; \n
(b) encontrar a matriz do sistema e seus autovalores; \n
(c) descrever o retrato de fase no plano (y,y')\equiv(x_{1},x_{2}), indicar o tipo do equilíbrio na origem (centro, foco, sela, etc.) e dizer o comportamento quando t\to\infty.
Passo 2
Transformando a EDO de segunda ordem num sistema de primeira ordem: definimos \,x_{1}=y e \,x_{2}=y'. Então derivando,
x_{1}'=y'=x_{2},
x_{2}'=y''=-y=-x_{1}.
As condições iniciais ficam \,x_{1}(0)=A e \,x_{2}(0)=B. Isso responde a (a): o sistema é dado por essas duas equações acopladas.
Passo 3
Escrevemos o sistema em forma matricial x' = M x. Aqui x=\begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\end{pmatrix} e a matriz M é
Explicando cada entrada: o 0 na posição (1,1) significa que x_{1}' não tem termo em x_{1}; o 1 em (1,2) vem de x_{1}'=x_{2}; o -1 em (2,1) vem de x_{2}'=-x_{1}; e o 0 em (2,2) mostra que x_{2}' não tem termo em x_{2}.]
Passo 4
Encontrando os autovalores de M. Calculamos o polinômio característico:
As raízes são as soluções de \lambda^{2}+1=0, ou seja
\lambda=\pm i.
Portanto os autovalores são puramente imaginários \,i e -i. Uma observação importante (didática): autovalores com parte real zero indicam que o ponto de equilíbrio é não-hiperbólico; quando são estritamente imaginários conjugados típicos de sistemas lineares conservativos, o comportamento típico é de oscilações/períodos (centro).
Passo 5
Solução explícita e conservação de energia (intuição geométrica). Resolvendo a EDO original pela equação característica obtemos
y(t)=C_{1}\cos t + C_{2}\sin t.
Usando as condições iniciais \,y(0)=A e \,y'(0)=B obtemos C_{1}=A e C_{2}=B. Logo
y(t)=A\cos t + B\sin t,
y'(t)=-A\sin t + B\cos t.
Agora veja uma quantidade muito útil: calculemos x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=y^{2}+(y')^{2}. Substituindo as soluções,
y^{2}(t)+y'(t)^{2}=A^{2}+B^{2},
ou, de forma dinâmica, diferenciando y^{2}+y'^{2} em relação a t dá zero (mostra conservação). Isso significa que a norma euclidiana \sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} é constante ao longo das trajetórias: as soluções movem-se sobre circunferências centradas na origem com raio \sqrt{A^{2}+B^{2}}. Essas trajetórias são periódicas com período 2\pi.
Passo 6
Retrato de fase, tipo de equilíbrio e comportamento quando t\to\infty.
Retrato de fase: no plano (x_{1},x_{2})=(y,y') todas as órbitas não triviais são circunferências centradas na origem. A direção do movimento pode ser determinada: por exemplo, no ponto (r,0) temos x'=(0,-r), ou seja, o movimento vai para baixo — isso indica rotação no sentido horário. Portanto as trajetórias são círculos percorridos periodicamente (sentido horário).
Tipo de equilíbrio: a origem é um centro linear (não-hiperbólico): é um equilíbrio estável no sentido de Lyapunov (pequenas perturbações permanecem próximas e descrevem órbitas fechadas) mas não é assintoticamente estável (as soluções não tendem à origem com t\to\infty, salvo a solução trivial).
Comportamento quando t\to\infty: as soluções são periódicas e não convergem para a origem; elas permanecem com amplitude constante \sqrt{A^{2}+B^{2}}. Em particular, para A=B=0 obtemos a solução trivial que fica na origem; para qualquer outro par (A,B) a solução gira indefinidamente em uma circunferência.
(c) Trajetórias são circunferências centradas na origem de raio \sqrt{A^{2}+B^{2}}, percorridas periodicamente (sentido horário). O equilíbrio na origem é um centro (estável no sentido de Lyapunov, não assintoticamente estável). Para t\to\infty as soluções não convergem para a origem, são periódicas com período 2\pi.]