Represente graficamente (na reta real) os seguintes conjuntos:
(1 / 2,8) \cap[4,10).

Passo 1

O enunciado pede: representar graficamente, na reta real, o conjunto
\left(\tfrac{1}{2},8\right)\cap[4,10).
Informações dadas:
  • O primeiro conjunto é \left(\tfrac{1}{2},8\right).
  • O segundo conjunto é [4,10).
  • A operação pedida é a interseção, indicada por \cap.

Passo 2

O que significa cada notação (rapidinho, como revisão):
  • Uma notação aberta \left(a,b\right) significa todos os números x tais que a<x<b. As extremidades a e b não pertencem ao conjunto.
  • Uma notação fechada [a,b] significa todos os x tais que a\le x\le b. As extremidades pertencem ao conjunto.
  • Um par misto [a,b) significa a\le x<b: inclui a e exclui b.

Passo 3

Escrevendo os dois conjuntos de forma verbal / desigualdade:
  • \left(\tfrac{1}{2},8\right)=\{x\in\mathbb{R}\mid \tfrac{1}{2}<x<8\}.
  • [4,10)=\{x\in\mathbb{R}\mid 4\le x<10\}.

Passo 4

Regra prática para interseção de intervalos: a interseção tem como limite inferior o maior dos limites inferiores e como limite superior o menor dos limites superiores. Em símbolos:
  • limite inferior = \max\big(\tfrac{1}{2},4\big).
  • limite superior = \min(8,10).
Calcule:
\max\big(\tfrac{1}{2},4\big)=4, \qquad \min(8,10)=8.

Passo 5

Decidir se as extremidades 4 e 8 fazem parte ou não da interseção:
  • Verifique 4: temos \tfrac{1}{2}<4<8, logo 4\in\left(\tfrac{1}{2},8\right). Também 4\in[4,10) porque o colchete fecha em 4. Portanto 4 pertence à interseção — o limite inferior é fechado.
  • Verifique 8: 8\notin\left(\tfrac{1}{2},8\right) porque esse intervalo é aberto em 8. Mesmo que 8<10 e 8\in[4,10) não importa; se um dos conjuntos exclui 8, a interseção exclui. Portanto 8 não pertence à interseção — o limite superior é aberto.
Conclusão da construção: a interseção é o intervalo fechado à esquerda em 4 e aberto à direita em 8, isto é [4,8).

Passo 6

Como representar graficamente na reta real (passo a passo para desenhar na prova):
  1. Desenhe uma reta horizontal.
  2. Marque os pontos \tfrac{1}{2}, 4, 8, 10 em posições relativas (não precisa escala perfeita, só ordem).
  3. No ponto \tfrac{1}{2} coloque uma bolinha aberta (círculo não pintado) e desenhe uma linha contínua para a direita até 8 com outra bolinha aberta em 8 — isso representa \left(\tfrac{1}{2},8\right).
  4. No ponto 4 pinte uma bolinha preenchida e desenhe uma linha contínua para a direita até 10 com bolinha aberta em 10 — isso representa [4,10).
  5. A interseção é a parte que está sombreada por ambos: sai uma linha ou segmento entre 4 (bolinha preenchida) e 8 (bolinha aberta). Visualmente: segmento preenchido iniciando em 4 (incluso) e terminando em 8 (não incluso).
Exemplo gráfico em texto (símbolos):
\dots — o — — ●=================o — — \dots
onde os marcadores abaixo correspondem a:
\tfrac{1}{2} 4 8 10
E o segmento preenchido (a interseção) vai de 4 até 8, incluindo 4 e excluindo 8.

Resposta

[4,8)

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