Represente graficamente (na reta real) os seguintes conjuntos:
.
Passo 1
O enunciado pede: representar graficamente, na reta real, o conjunto
Informações dadas:
- O primeiro conjunto é
. - O segundo conjunto é
. - A operação pedida é a interseção, indicada por
.
Passo 2
O que significa cada notação (rapidinho, como revisão):
- Uma notação aberta
significa todos os números tais que . As extremidades e não pertencem ao conjunto. - Uma notação fechada
significa todos os tais que . As extremidades pertencem ao conjunto. - Um par misto
significa : inclui e exclui .
Passo 3
Escrevendo os dois conjuntos de forma verbal / desigualdade:
-
. -
.
Passo 4
Regra prática para interseção de intervalos: a interseção tem como limite inferior o maior dos limites inferiores e como limite superior o menor dos limites superiores. Em símbolos:
- limite inferior =
. - limite superior =
.
Calcule:
Passo 5
Decidir se as extremidades
e
fazem parte ou não da interseção:
- Verifique
: temos , logo . Também porque o colchete fecha em . Portanto pertence à interseção — o limite inferior é fechado. - Verifique
: porque esse intervalo é aberto em . Mesmo que e não importa; se um dos conjuntos exclui , a interseção exclui. Portanto não pertence à interseção — o limite superior é aberto.
Conclusão da construção: a interseção é o intervalo fechado à esquerda em
e aberto à direita em
, isto é
.
Passo 6
Como representar graficamente na reta real (passo a passo para desenhar na prova):
- Desenhe uma reta horizontal.
- Marque os pontos
, , , em posições relativas (não precisa escala perfeita, só ordem). - No ponto
coloque uma bolinha aberta (círculo não pintado) e desenhe uma linha contínua para a direita até com outra bolinha aberta em — isso representa . - No ponto
pinte uma bolinha preenchida e desenhe uma linha contínua para a direita até com bolinha aberta em — isso representa . - A interseção é a parte que está sombreada por ambos: sai uma linha ou segmento entre
(bolinha preenchida) e (bolinha aberta). Visualmente: segmento preenchido iniciando em (incluso) e terminando em (não incluso).
Exemplo gráfico em texto (símbolos):
— o — — ●=================o — —
onde os marcadores abaixo correspondem a:
E o segmento preenchido (a interseção) vai de até
, incluindo
e excluindo
.
onde os marcadores abaixo correspondem a:
E o segmento preenchido (a interseção) vai de