Represente graficamente (na reta real) os seguintes conjuntos:
(-\infty, \infty) \backslash(-1,1)

Passo 1

O enunciado pede que eu represente graficamente, na reta real, o conjunto
(-\infty,\infty)\setminus(-1,1).
Informações dadas:
  • O universo é a reta real inteira, isto é (-\infty,\infty).
  • Subtrai-se (faz-se a diferença) o intervalo aberto (-1,1).
  • O resultado é o conjunto de todos os números reais que NÃO pertencem a (-1,1).

Passo 2

Entendendo a operação \setminus (diferença de conjuntos): se tenho dois conjuntos A e B, então
A\setminus B=\{x\in A \mid x\notin B\}.
No nosso caso A=(-\infty,\infty) e B=(-1,1). Então estamos pegando todos os reais x tais que x\notin(-1,1).

Passo 3

O que significa x\notin(-1,1)? O intervalo (-1,1) é o conjunto dos reais estritamente entre -1 e 1, isto é todos x que satisfazem
-1<x<1.
Negando essa desigualdade (e lembrando que o universo é toda a reta), obtemos
x\le -1\quad\text{ou}\quad x\ge 1.
Portanto os pontos que ficam fora de (-1,1) são exatamente os números menores ou iguais a -1 e os números maiores ou iguais a 1.

Passo 4

Escrevendo isso em forma de intervalos:
  • Todos os números menores ou iguais a -1 formam o intervalo (-\infty,-1].
  • Todos os números maiores ou iguais a 1 formam o intervalo [1,\infty).
    Unindo as duas partes (pela condição “ou”) obtemos
(-\infty,-1]\cup[1,\infty).

Passo 5

Pequena aula complementar (regra geral): para qualquer a<b real,
(-\infty,\infty)\setminus(a,b)=(-\infty,a]\cup[b,\infty).
Ou seja, o complemento (na reta real) de um intervalo aberto (a,b) é a união dos dois raios que se estendem até -\infty e +\infty, incluindo os pontos a e b (porque a e b não pertencem a (a,b)).

Passo 6

Como desenhar isso na reta real (descrição gráfica passo a passo):
  1. Desenhe uma reta horizontal.
  2. Marque os pontos -1 e 1 sobre a reta e escreva as coordenadas \,-1\, e \,1\,.
  3. Em -1 coloque um ponto preenchido (ou seja, fechado) para indicar que -1 pertence ao conjunto.
  4. Em 1 coloque também um ponto preenchido (fechado).
  5. Pinte (ou trace com linha contínua) a reta para a esquerda a partir de -1 até o infinito e coloque uma seta apontando para a esquerda para indicar (-\infty,-1].
  6. Pinte a reta para a direita a partir de 1 até o infinito e coloque uma seta apontando para a direita para indicar [1,\infty).
Visualmente fica: uma reta com duas regiões sombreadas que vão para os extremos, e pontos fechados em -1 e 1.

Resposta

(-\infty,-1]\cup[1,\infty)

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