Determine quais das seguintes regras definem uma função (Justifique!). Caso seja uma função, identifique seu domínio e codomínio.
A cada estudante da UFMT matriculado no segundo semestre de 2025 associe sua data de nascimento.
A cada estudante da UFMT matriculado no segundo semestre de 2025 associe sua data de nascimento.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine se a regra “a cada estudante da UFMT matriculado no segundo semestre de 2025 associe sua data de nascimento” define uma função, e que eu justifique. Se for função, preciso identificar o domínio e o codomínio.
Informações dadas pelo enunciado: a regra associa para cada estudante (elemento do conjunto de estudantes matriculados na UFMT no 2.º semestre de 2025) uma data de nascimento (um dia, mês e ano).
Informações dadas pelo enunciado: a regra associa para cada estudante (elemento do conjunto de estudantes matriculados na UFMT no 2.º semestre de 2025) uma data de nascimento (um dia, mês e ano).
Passo 2
Primeiro vamos lembrar o que é uma função, de forma bem clara e prática. Uma regra
é uma função de um conjunto
para um conjunto
— escrevemos
— quando, para cada elemento
de
, a regra indica exatamente um elemento
de
. Ou seja:
Aqui
significa “existe exatamente um”.
Termos importantes: o conjunto chama-se domínio; o conjunto
chama-se codomínio; a imagem (ou conjunto-valor) da função é
, que é um subconjunto de
.
Termos importantes: o conjunto
Passo 3
Apliquemos a definição ao nosso caso. Tome
como “o conjunto de estudantes da UFMT matriculados no segundo semestre de 2025” e considere a regra que a cada estudante associa sua data de nascimento. Precisamos verificar a condição "para cada
existe exatamente um
tal que
é a data de nascimento de
".
Na prática real, cada pessoa tem uma única data de nascimento (um único dia/mês/ano em que nasceu). Logo, para cada estudante
existe uma única data
que é a sua data de nascimento. Assim a regra dá, para cada estudante, exatamente um valor (a sua data). Portanto a regra satisfaz a definição de função, desde que entendamos que a associação realmente é feita para todos os estudantes do domínio (isto é, que não haja estudante no domínio sem data atribuída por falta de informação). O enunciado diz “associe”, o que implica que a associação é realizada para cada estudante; então podemos concluir que a regra é uma função.
Passo 4
Escrevendo isso em notação de função: definimos
onde
e
é "a data de nascimento do estudante
".
Passo 5
Agora precisamos especificar o codomínio
. O mais natural é tomar
como o conjunto de todas as datas válidas do calendário (cada elemento é uma tupla dia–mês–ano), por exemplo
Com essa escolha, todo valor
(a data de nascimento de um estudante) é realmente um elemento de
. Observação: poderíamos escolher um codomínio maior (por exemplo todas as strings), mas a escolha mais natural e informativa é o conjunto das datas.
Passo 6
Comentando alguns pontos que aparecem em provas e que podem confundir: (i) O fato de dois estudantes terem a mesma data de nascimento (ex.: colegas de turma nascidos no mesmo dia, ou gêmeos) não impede que seja função — isso apenas mostra que a função não é injetora em geral. (ii) A função também não precisa ser sobrejetora (surjetora) em relação a
: muitos elementos de
(datas muito antigas ou muito futuras) provavelmente não serão imagens de nenhum estudante; isto é,
e normalmente
. (iii) Se existisse algum estudante do domínio sem data atribuída (informação faltante), então a regra não seria bem definida como função; mas o enunciado implica que a associação é feita.
Passo 7
Resumo lógico da justificativa: para cada estudante
existe exatamente uma data
que é a sua data de nascimento, portanto a regra associa a cada elemento do domínio um único elemento do codomínio. Logo é função.
Resposta
Sim. É uma função.
Domínio: .
Codomínio: .
Domínio:
Codomínio: