Determine quais das seguintes regras definem uma função (Justifique!). Caso seja uma função, identifique seu domínio e codomínio.
A cada estudante da UFMT matriculado no segundo semestre de 2025 associe sua data de nascimento.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine se a regra “a cada estudante da UFMT matriculado no segundo semestre de 2025 associe sua data de nascimento” define uma função, e que eu justifique. Se for função, preciso identificar o domínio e o codomínio.
Informações dadas pelo enunciado: a regra associa para cada estudante (elemento do conjunto de estudantes matriculados na UFMT no 2.º semestre de 2025) uma data de nascimento (um dia, mês e ano).

Passo 2

Primeiro vamos lembrar o que é uma função, de forma bem clara e prática. Uma regra f é uma função de um conjunto A para um conjunto B — escrevemos f\colon A\to B — quando, para cada elemento x de A, a regra indica exatamente um elemento y de B. Ou seja:
\forall x\in A\;\exists!\;y\in B\quad\text{tal que}\quad y=f(x).
Aqui \exists! significa “existe exatamente um”.
Termos importantes: o conjunto A chama-se domínio; o conjunto B chama-se codomínio; a imagem (ou conjunto-valor) da função é f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}, que é um subconjunto de B.

Passo 3

Apliquemos a definição ao nosso caso. Tome A como “o conjunto de estudantes da UFMT matriculados no segundo semestre de 2025” e considere a regra que a cada estudante associa sua data de nascimento. Precisamos verificar a condição "para cada x\in A existe exatamente um y\in B tal que y é a data de nascimento de x".
Na prática real, cada pessoa tem uma única data de nascimento (um único dia/mês/ano em que nasceu). Logo, para cada estudante x existe uma única data y que é a sua data de nascimento. Assim a regra dá, para cada estudante, exatamente um valor (a sua data). Portanto a regra satisfaz a definição de função, desde que entendamos que a associação realmente é feita para todos os estudantes do domínio (isto é, que não haja estudante no domínio sem data atribuída por falta de informação). O enunciado diz “associe”, o que implica que a associação é realizada para cada estudante; então podemos concluir que a regra é uma função.

Passo 4

Escrevendo isso em notação de função: definimos
f\colon A \to B
onde
A=\{\text{estudantes da UFMT matriculados no 2.º semestre de 2025}\}º
e f(x) é "a data de nascimento do estudante x".

Passo 5

Agora precisamos especificar o codomínio B. O mais natural é tomar B como o conjunto de todas as datas válidas do calendário (cada elemento é uma tupla dia–mês–ano), por exemplo
B=\{\text{datas do calendário (dia, mês, ano)}\}.áê
Com essa escolha, todo valor f(x) (a data de nascimento de um estudante) é realmente um elemento de B. Observação: poderíamos escolher um codomínio maior (por exemplo todas as strings), mas a escolha mais natural e informativa é o conjunto das datas.

Passo 6

Comentando alguns pontos que aparecem em provas e que podem confundir: (i) O fato de dois estudantes terem a mesma data de nascimento (ex.: colegas de turma nascidos no mesmo dia, ou gêmeos) não impede que seja função — isso apenas mostra que a função não é injetora em geral. (ii) A função também não precisa ser sobrejetora (surjetora) em relação a B: muitos elementos de B (datas muito antigas ou muito futuras) provavelmente não serão imagens de nenhum estudante; isto é, f(A)\subseteq B e normalmente f(A)\neq B. (iii) Se existisse algum estudante do domínio sem data atribuída (informação faltante), então a regra não seria bem definida como função; mas o enunciado implica que a associação é feita.

Passo 7

Resumo lógico da justificativa: para cada estudante x\in A existe exatamente uma data y que é a sua data de nascimento, portanto a regra associa a cada elemento do domínio um único elemento do codomínio. Logo é função.

Resposta

Sim. É uma função.
Domínio: A=\{\text{estudantes da UFMT matriculados no 2.º semestre de 2025}\}º.
Codomínio: B=\{\text{datas válidas do calendário (dia, mês, ano)}\}ááê.

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