Represente graficamente as seguintes funções e dê o mapa de curvas de nível para quatro valores de z=f(x, y)
f(x, y)=6-3 x-2 y

Passo 1

O enunciado pede para representar graficamente a função f(x,y)=6-3x-2y (que é um plano em R^3) e construir o mapa de curvas de nível para quatro valores de z=f(x,y). Vamos precisar entender como esboçar planos por interceptos e como obter retas que descrevem as curvas de nível.

Passo 2

Para desenhar o plano, basta encontrar três pontos não colineares. Tomando x=0,y=0 temos z=f(0,0)=6, logo o ponto (0,0,6). Para y=0,z=0 resolvemos 6-3x=0 dando x=2, isto é (2,0,0). E para x=0,z=0 resolvemos 6-2y=0 dando y=3, isto é (0,3,0). Esses três pontos permitem esboçar o plano.

Passo 3

As curvas de nível são obtidas igualando f(x,y) a uma constante z0:
6-3x-2y = z0
Reescrevendo, temos
3x + 2y = 6 - z0

Passo 4

Vamos escolher quatro valores para z0, por exemplo 0,2,4,6, e obter a equação das retas correspondentes:
Para z0=0:
3x + 2y = 6
Para z0=2:
3x + 2y = 4
Para z0=4:
3x + 2y = 2
Para z0=6:
3x + 2y = 0

Passo 5

Essas quatro retas são paralelas (mesmo coeficiente angular) e deslocadas ao longo do plano. Basta desenhá-las no plano xy para obter o mapa de curvas de nível.

Resposta

O gráfico de f(x,y)=6-3x-2y é o plano que intercepta os eixos nos pontos (0,0,6), (2,0,0) e (0,3,0). As curvas de nível para z=0,2,4,6 são as retas no plano xy:
Para z=0: 3x+2y=6
Para z=2: 3x+2y=4
Para z=4: 3x+2y=2
Para z=6: 3x+2y=0
O mapa de curvas de nível consiste nessas quatro retas paralelas desenhadas no plano xy, cada uma marcada com seu valor de z.

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