Represente graficamente as seguintes funções e dê o mapa de curvas de nível para quatro valores de z=f(x, y)
f(x, y)=x^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o gráfico da função f(x,y)=x^2-y^2 em 3D (uma sela) e extrair o mapa de curvas de nível (contour plot) para quatro valores fixos de z. Vamos usar isso para entender o formato da superfície e como as curvas se comportam no plano (x,y).

Passo 2

O tipo de superfície aqui é conhecido como sela ou hiperbolic paraboloid. Para obter uma curva de nível para um valor z=c, basta resolver a equação
f(x,y)=x^2-y^2=c
no plano (x,y). O conjunto de pontos que satisfaz essa equação é, em geral, uma hipérbole (ou par de retas, se c=0).

Passo 3

Escolhemos quatro valores de c, por exemplo: c=-1, c=0, c=1 e c=2. Para cada caso temos:
Para c=-1: & x^2-y^2=-1 Longrightarrow y^2-x^2=1 (hipérbo<= abrindo ao longo de y) Para c=0: & x^2-y^2=0 Longrightarrow y=pm x (duas retas) Para c=1: & x^2-y^2=1 (hipérbo<= abrindo ao longo de x) Para c=2: & x^2-y^2=2 (hipérbo<= mais "estreita" abrindo em x) ééé

Passo 4

No plano (x,y), cada uma dessas equações é desenhada assim:
  • Para z=-1: desenhe a hipérbole de equação y=pmraizx^2+1, ramos voltados para y>0 e y<0.
  • Para z=0: desenhe as retas y=x e y=-x.
  • Para z=1: hipérbole y=pmraizx^2-1, válida para |x|>=1, ramos ao longo de x.
  • Para z=2: hipérbole y=pmraizx^2-2, válida para |x|>=raiz2, ramos alongados em x.
    Colocando todas no mesmo gráfico (com cores ou estilos distintos) forma-se o mapa de curvas de nível.

Passo 5

Para visualizar em 3D, imagine uma sela: ao longo da direção x a superfície se abre para cima (parte parabólica positiva) e ao longo de y abre para baixo (parabólica negativa). Isso cria o formato de “cadeado” ou sela, cujo corte horizontal em diferentes alturas é justamente o nosso mapa de curvas de nível.

Passo 6

Em resumo, o mapa de curvas de nível (contour plot) no plano (x,y) para z=-1,0,1,2 consiste nas hipérboles e retas definidas acima, esclarecendo como a sela varia conforme subimos ou descemos o valor de z.

Resposta

As curvas de nível para f(x,y)=x^2-y^2 em quatro valores de z são:
Para z=-1:
$$
y2-x2=1\quad(hipérbole abrindo no eixoy)$$
Para y^2-x^2=1(hipérbo<= abrindo no eixo y):
$$
y=\pm x\quad(par de retas)$$
Para z=0:
$$
x2-y2=1\quad(hipérbole abrindo no eixox)$$
Para y=pm x(par de retas):
$$
x2-y2=2\quad(hipérbole mais estreita abrindo emx)$$
No plano z=1, basta desenhar essas hipérboles e retas juntas para obter o mapa de curvas de nível, que reflete as secções horizontais da sela x^2-y^2=1(hipérbo<= abrindo no eixo x) em diferentes alturas.

Exercícios relacionados