Represente graficamente as seguintes funções e dê o mapa de curvas de nível para quatro valores de
Passo 1
O enunciado pede para desenhar o gráfico da função em 3D (uma sela) e extrair o mapa de curvas de nível (contour plot) para quatro valores fixos de . Vamos usar isso para entender o formato da superfície e como as curvas se comportam no plano .
Passo 2
O tipo de superfície aqui é conhecido como sela ou hiperbolic paraboloid. Para obter uma curva de nível para um valor , basta resolver a equação
no plano . O conjunto de pontos que satisfaz essa equação é, em geral, uma hipérbole (ou par de retas, se ).
Passo 3
Escolhemos quatro valores de , por exemplo: , , e . Para cada caso temos:
Passo 4
No plano (x,y), cada uma dessas equações é desenhada assim:
Para z=-1: desenhe a hipérbole de equação y=pmraizx^2+1, ramos voltados para y>0 e y<0.
Para z=0: desenhe as retas y=x e y=-x.
Para z=1: hipérbole y=pmraizx^2-1, válida para |x|>=1, ramos ao longo de x.
Para z=2: hipérbole y=pmraizx^2-2, válida para |x|>=raiz2, ramos alongados em x.
Colocando todas no mesmo gráfico (com cores ou estilos distintos) forma-se o mapa de curvas de nível.
Passo 5
Para visualizar em 3D, imagine uma sela: ao longo da direção x a superfície se abre para cima (parte parabólica positiva) e ao longo de y abre para baixo (parabólica negativa). Isso cria o formato de “cadeado” ou sela, cujo corte horizontal em diferentes alturas é justamente o nosso mapa de curvas de nível.
Passo 6
Em resumo, o mapa de curvas de nível (contour plot) no plano (x,y) para z=-1,0,1,2 consiste nas hipérboles e retas definidas acima, esclarecendo como a sela varia conforme subimos ou descemos o valor de z.
Resposta
As curvas de nível para f(x,y)=x^2-y^2 em quatro valores de z são:
Para z=-1:
$$
y2-x2=1\quad(hipérbole abrindo no eixoy)$$
Para y^2-x^2=1(hipérbo<= abrindo no eixo y):
$$
y=\pm x\quad(par de retas)$$
Para z=0:
$$
x2-y2=1\quad(hipérbole abrindo no eixox)$$
Para y=pm x(par de retas):
$$
x2-y2=2\quad(hipérbole mais estreita abrindo emx)$$
No plano z=1, basta desenhar essas hipérboles e retas juntas para obter o mapa de curvas de nível, que reflete as secções horizontais da sela x^2-y^2=1(hipérbo<= abrindo no eixo x) em diferentes alturas.