Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da Série
sumn=1^infty (4 x-1)^2n^2

Passo 1

A série dada é sumn=1^infty(4x-1)^2n^2. O conteúdo aqui é convergência de séries numéricas dependentes de um parâmetro x. Vamos precisar do teste da série-p e da ideia de fatorar constantes que não dependem de n.

Passo 2

O termo geral da série é
an(x)=(4x-1)^2n^2
Observe que (4x-1)^2 não depende de n, então podemos escrevê-la como constante em relação a soma.

Passo 3

Como sabemos, a série-p sumn=1^inftytfrac1n^2 converge (porque o expoente p=2>1). Logo,
sumn=1^infty(4x-1)^2n^2=(4x-1)^2sumn=1^infty1n^2
é o produto de uma constante por uma série convergente. Isso mostra que para todo xin R a série converge absolutamente.

Passo 4

Como a série converge para qualquer valor de x, o conjunto de convergência é ( -infty,infty ). Em termos de raio de convergência de uma “suposta” série de potências em x, isso corresponde a R=+infty.

Resposta

Raio de convergência: R=+infty. Intervalo de convergência: ( -infty,infty ).

Exercícios relacionados