Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da Série
Passo 1
A série dada é
. O conteúdo aqui é convergência de séries numéricas dependentes de um parâmetro
. Vamos precisar do teste da série-p e da ideia de fatorar constantes que não dependem de
.
Passo 2
O termo geral da série é
Observe que
não depende de
, então podemos escrevê-la como constante em relação a soma.
Passo 3
Como sabemos, a série-p
converge (porque o expoente
). Logo,
é o produto de uma constante por uma série convergente. Isso mostra que para todo
a série converge absolutamente.
Passo 4
Como a série converge para qualquer valor de
, o conjunto de convergência é
. Em termos de raio de convergência de uma “suposta” série de potências em
, isso corresponde a
.
Resposta
Raio de convergência:
. Intervalo de convergência:
.