Represente o número decimal ( 0.2 ) na base binária com
8 dígitos.
Passo 1
O enunciado pede para representar o número decimal 0,2 na base binária com 8 dígitos (ou seja, 8 dígitos depois da vírgula binária). As informações relevantes são:
O número decimal dado é 0,2.
Quer-se a representação em base 2 com exatamente 8 dígitos fracionários.
Passo 2
Vou explicar o método que vamos usar (muito usado em provas): multiplicar a parte fracionária por 2 repetidas vezes. A cada multiplicação, a parte inteira do produto é o próximo dígito binário (0 ou 1) e a parte fracionária restante é usada na próxima iteração. Formalmente:
Definir f_0 = 0,2.
Para k\ge 0: calcular 2f_k. Seja b_{k+1} a parte inteira de 2f_k (ou seja, b_{k+1}\in\{0,1\}) e f_{k+1} a parte fracionária de 2f_k.
O k-ésimo dígito binário depois do ponto será b_k (começando em b_1 como primeiro dígito fracionário).
Explicando por que funciona (curto): em binário cada posição fracionária vale uma potência negativa de 2 (2^{-1},2^{-2},\dots). Multiplicar por 2 “leva” a próxima posição para a parte inteira, revelando seu valor (0 ou 1).
Passo 3
Para evitar erros de arredondamento e mostrar exatamente o padrão, vamos trabalhar com frações racionais: 0,2 = \dfrac{1}{5}. Então f_0=\dfrac{1}{5}. Agora aplicamos o algoritmo passo a passo, mostrando 2f_k, a parte inteira b_{k+1} e a nova fração f_{k+1}.
2f_0 = 2\cdot\dfrac{1}{5}=\dfrac{2}{5}.
Parte inteira b_1=0. Parte fracionária f_1=\dfrac{2}{5}.
2f_1 = 2\cdot\dfrac{2}{5}=\dfrac{4}{5}.
Parte inteira b_2=0. Parte fracionária f_2=\dfrac{4}{5}.
2f_2 = 2\cdot\dfrac{4}{5}=\dfrac{8}{5}=\;1+\dfrac{3}{5}.
Parte inteira b_3=1. Parte fracionária f_3=\dfrac{3}{5}.
2f_3 = 2\cdot\dfrac{3}{5}=\dfrac{6}{5}=\;1+\dfrac{1}{5}.
Parte inteira b_4=1. Parte fracionária f_4=\dfrac{1}{5}.
Observe que f_4=\dfrac{1}{5}=f_0. Ou seja, a sequência de frações entrou em ciclo, logo os dígitos binários vão se repetir com período 4.
Passo 4
Da sequência acima coletamos os dígitos b_k em ordem:
b_1=0
b_2=0
b_3=1
b_4=1
Como f_4=f_0, o padrão repete: os próximos quatro serão novamente 0,0,1,1, e assim por diante.
Passo 5
Como precisamos de 8 dígitos fracionários, pegamos os primeiros 8 bits da repetição:
Portanto a representação binária com 8 dígitos fracionários é (0,00110011)_2 (uso vírgula decimal na escrita decimal e ponto-binário em notação binária; aqui escrevo o ponto binário como separador implícito).
Passo 6
Comentário final didático e prático: a representação exata é periódica em binário:
0,2 = \frac{1}{5} = 0.\overline{0011}_2,
onde o bloco 0011 se repete infinitamente. Ao pedir 8 dígitos, tomamos dois períodos completos (0011)(0011).