Questão 6. Seja
um trapézio isósceles de lados 7, 5, 5 e 1. Os pontos
e
são tomados nos lados (ou prolongamentos) do trapézio. Encontre o menor valor possivel do perimetro de MNPQ.
Passo 1
Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Tem-se um trapézio isósceles
cujos lados, em ordem, valem . Ou seja, os dois lados não paralelos (as diagonais laterais) têm comprimento cada, e as duas bases têm comprimentos e . - Os pontos
são escolhidos sobre os lados (ou sobre os prolongamentos) do trapézio, nessa ordem cíclica. - Quer-se o menor valor possível do perímetro de
, isto é do comprimento
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O trapézio é isósceles; portanto as bases são paralelas e os dois lados inclinados têm o mesmo comprimento.
- Os comprimentos das arestas, em ordem ao redor do trapézio, são
. Vou interpretar isso como . - Os pontos podem estar nas retas que contêm os lados (prolongamentos), o que facilita a técnica de reflexão que usaremos.
A resolução começa agora.
Passo 2
Vou colocar o trapézio num sistema de coordenadas para trabalhar com números. Essa escolha é só para facilitar contas; a propriedade geométrica que usaremos é independente das coordenadas.
Escolho
como base horizontal de comprimento
, colocando
Como
é a outra base de comprimento
e o trapézio é isósceles, a base curta fica centrada sobre a base longa e a altura é tal que os lados inclinados valem
. Assim a base
fica com coordenadas
porque o centro de
está em
e a base de comprimento
vai de
a
em
. Os comprimentos das pernas dão
Logo tomo
Passo 3
Explico a ideia chave (a técnica) que vamos usar: reflexão para reduzir o problema de minimização de soma de comprimentos a uma distância reta.
- Se queremos minimizar o comprimento
com na reta , na reta , na reta e na reta (ou em prolongamentos), há um método padrão: refletir sucessivamente o ponto inicial através das retas de contato. - Mais precisamente: para um ponto
na reta , considere sua imagem por reflexão em , a imagem de por reflexão em , e a imagem de por reflexão em . Então a distância reta entre e é exatamente
Isto se dá porque a reflexão transforma cada segmento de um caminho que bate numa reta na sua imagem reta: o caminho poligonal que toca as retas
corresponde a um segmento reto entre
e
. Portanto, minimizar
é equivalente a escolher
sobre a reta
(ou seu prolongamento) de modo a minimizar a distância entre
e
.
Assim a estratégia é:
- Calcular a imagem da reta
após as três reflexões . Essa imagem é uma reta (no nosso caso um segmento imagem de ). - O menor valor possível de
será a menor distância entre a reta e a reta imagem (ou entre os segmentos imagem, já que prolongamentos são permitidos). Essa distância mínima é atingida por um segmento perpendicular entre as duas retas, desde que o pé esteja na parte comum permitida (aqui prolongamentos são permitidos, então não há restrição).
Vou então calcular a imagem de
por essas três reflexões, aplicando a transformação composta aos extremos
e
para obter
e
.
Passo 4
Preparação: equações das retas que serão reflexores.
- Reta
: passa por e . Forma normalizada:
porque
dá
.
-
Reta
: é horizontal . -
Reta
: passa por e , equação
(ou
).
Fórmula de reflexão de um ponto
em relação à reta
:
Vou aplicar as três reflexões à sequência
e
.
Passo 5
Reflexões para
.
- Reflexão de
na reta (dados ):
Logo
- Reflexão de
na reta ( ): reflexão horizontal dá inalterado e . Assim
- Reflexão de
na reta (equação , isto é ):
Calculoe .
Logo
Portanto
Passo 6
Reflexões para
.
- Reflexão de
na reta . Como está sobre , a reflexão não o move:
- Reflexão de
na reta ( ): espelho vertical em dá
- Reflexão de
na reta ( ). Calculo e . Assim
Portanto
Passo 7
Interpreto o resultado geométrico das reflexões:
- Os pontos
e têm a mesma ordenada . Ou seja, a imagem da reta após as três reflexões é uma reta horizontal
- Além disso, as abscissas de
e são e . O comprimento do segmento é
que coincide com o comprimento de
(a reflexão composta preserva comprimentos).
Como a imagem de
é a reta horizontal
, a distância entre a reta
(que é
) e essa reta imagem é simplesmente a diferença de ordenadas:
Pelo argumento da reflexão (Passo 3), para qualquer escolha de
na reta
a soma
coincide com a distância entre
e a correspondente imagem
na reta
. Logo o menor possível de
é exatamente a menor distância entre as duas retas, isto é
, desde que se possa escolher
de modo que a reta que liga
a
corte as retas na ordem correta
, depois
, depois
.
Vamos verificar que isso é possível: como as duas retas são horizontais e os domínios de abscissas se sobrepõem (a imagem tem abscissas de
a
e
tem abscissas de
a
), podemos escolher um
com abscissa
satisfazendo
(por exemplo
). Para tal escolha a reta que une
a
é vertical e intersecta as retas na ordem desejada (primeiro BC, depois CD em
, depois DA). Portanto a configuração válida existe e atinge a distância mínima.
Passo 8
Conclusão numérica: a menor soma possível é
Em forma decimal isso é
.