Questão 6. Seja A B C D um trapézio isósceles de lados 7, 5, 5 e 1. Os pontos M \in A B, N \in B C, P \in C D e Q \in D A são tomados nos lados (ou prolongamentos) do trapézio. Encontre o menor valor possivel do perimetro de MNPQ.

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Tem-se um trapézio isósceles ABCD cujos lados, em ordem, valem 7,5,5,1. Ou seja, os dois lados não paralelos (as diagonais laterais) têm comprimento 5 cada, e as duas bases têm comprimentos 7 e 1.
  • Os pontos M\in AB,\;N\in BC,\;P\in CD,\;Q\in DA são escolhidos sobre os lados (ou sobre os prolongamentos) do trapézio, nessa ordem cíclica.
  • Quer-se o menor valor possível do perímetro de MNPQ, isto é do comprimento
L=|MN|+|NP|+|PQ|+|QM|.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O trapézio é isósceles; portanto as bases são paralelas e os dois lados inclinados têm o mesmo comprimento.
  • Os comprimentos das arestas, em ordem ao redor do trapézio, são 7,5,5,1. Vou interpretar isso como AB=7,\;BC=5,\;CD=1,\;DA=5.
  • Os pontos podem estar nas retas que contêm os lados (prolongamentos), o que facilita a técnica de reflexão que usaremos.
A resolução começa agora.

Passo 2

Vou colocar o trapézio num sistema de coordenadas para trabalhar com números. Essa escolha é só para facilitar contas; a propriedade geométrica que usaremos é independente das coordenadas.
Escolho AB como base horizontal de comprimento 7, colocando
A=(0,0),\qquad B=(7,0).
Como CD é a outra base de comprimento 1 e o trapézio é isósceles, a base curta fica centrada sobre a base longa e a altura é tal que os lados inclinados valem 5. Assim a base CD fica com coordenadas
D=(3,h),\qquad C=(4,h),
porque o centro de AB está em x=3{,}5 e a base de comprimento 1 vai de 3 a 4 em x. Os comprimentos das pernas dão
|AD|=\sqrt{3^{2}+h^{2}}=5\quad\Rightarrow\quad h^{2}=25-9=16\quad\Rightarrow\quad h=4.
Logo tomo
A=(0,0),\; B=(7,0),\; C=(4,4),\; D=(3,4).

Passo 3

Explico a ideia chave (a técnica) que vamos usar: reflexão para reduzir o problema de minimização de soma de comprimentos a uma distância reta.
  • Se queremos minimizar o comprimento L=|MN|+|NP|+|PQ|+|QM| com M na reta AB, N na reta BC, P na reta CD e Q na reta DA (ou em prolongamentos), há um método padrão: refletir sucessivamente o ponto inicial através das retas de contato.
  • Mais precisamente: para um ponto M na reta AB, considere sua imagem M_1 por reflexão em BC, a imagem M_2 de M_1 por reflexão em CD, e a imagem M_3 de M_2 por reflexão em DA. Então a distância reta entre M e M_3 é exatamente
|M M_3| = |MN|+|NP|+|PQ|+|QM|.
Isto se dá porque a reflexão transforma cada segmento de um caminho que bate numa reta na sua imagem reta: o caminho poligonal que toca as retas BC,CD,DA corresponde a um segmento reto entre M e M_3. Portanto, minimizar L é equivalente a escolher M sobre a reta AB (ou seu prolongamento) de modo a minimizar a distância entre M e M_3.
Assim a estratégia é:
  1. Calcular a imagem da reta AB após as três reflexões R_{DA}\circ R_{CD}\circ R_{BC}. Essa imagem é uma reta (no nosso caso um segmento imagem de AB).
  2. O menor valor possível de L será a menor distância entre a reta AB e a reta imagem AB^{\ast} (ou entre os segmentos imagem, já que prolongamentos são permitidos). Essa distância mínima é atingida por um segmento perpendicular entre as duas retas, desde que o pé esteja na parte comum permitida (aqui prolongamentos são permitidos, então não há restrição).
Vou então calcular a imagem de AB por essas três reflexões, aplicando a transformação composta aos extremos A e B para obter A_3 e B_3.

Passo 4

Preparação: equações das retas que serão reflexores.
  • Reta BC: passa por B(7,0) e C(4,4). Forma normalizada:
4x+3y-28=0,
porque 3y=-4(x-7) 4x+3y-28=0.
  • Reta CD: é horizontal y=4.
  • Reta DA: passa por D(3,4) e A(0,0), equação
4x-3y=0
(ou y=\tfrac{4}{3}x).
Fórmula de reflexão de um ponto (x_0,y_0) em relação à reta ax+by+c=0:
x' = x_0 - \dfrac{2a(ax_0+by_0+c)}{a^{2}+b^{2}},\qquad y' = y_0 - \dfrac{2b(ax_0+by_0+c)}{a^{2}+b^{2}}.
Vou aplicar as três reflexões à sequência A\mapsto A_1\mapsto A_2\mapsto A_3 e B\mapsto B_1\mapsto B_2\mapsto B_3.

Passo 5

Reflexões para A=(0,0).
  1. Reflexão de A na reta BC (dados a=4,\;b=3,\;c=-28):
s=4\cdot0+3\cdot0-28=-28,\qquad a^{2}+b^{2}=25.
Logo
A_1=\Big(0-\dfrac{2\cdot4\cdot(-28)}{25},\;0-\dfrac{2\cdot3\cdot(-28)}{25}\Big) =\Big(\dfrac{224}{25},\;\dfrac{168}{25}\Big).
  1. Reflexão de A_1 na reta CD ( y=4): reflexão horizontal dá x inalterado e y\mapsto 2\cdot4-y. Assim
A_2=\Big(\dfrac{224}{25},\;8-\dfrac{168}{25}\Big)=\Big(\dfrac{224}{25},\;\dfrac{32}{25}\Big).
  1. Reflexão de A_2 na reta DA (equação 4x-3y=0, isto é a=4,b=-3,c=0):
    Calculo s=4\cdot \dfrac{224}{25}+(-3)\cdot\dfrac{32}{25}=\dfrac{896-96}{25}=\dfrac{800}{25}=32 e a^{2}+b^{2}=25.
    Logo
A_3=\Big(\dfrac{224}{25}-\dfrac{2\cdot4\cdot32}{25},\;\dfrac{32}{25}-\dfrac{2\cdot(-3)\cdot32}{25}\Big) =\Big(-\dfrac{32}{25},\;\dfrac{224}{25}\Big).
Portanto
A_3=\Big(-\dfrac{32}{25},\;\dfrac{224}{25}\Big).

Passo 6

Reflexões para B=(7,0).
  1. Reflexão de B na reta BC. Como B está sobre BC, a reflexão não o move:
B_1=(7,0).
  1. Reflexão de B_1 na reta CD ( y=4): espelho vertical em y=4
B_2=(7,8).
  1. Reflexão de B_2 na reta DA ( 4x-3y=0). Calculo s=4\cdot7-3\cdot8=28-24=4 e a^{2}+b^{2}=25. Assim
B_3=\Big(7-\dfrac{2\cdot4\cdot4}{25},\;8-\dfrac{2\cdot(-3)\cdot4}{25}\Big) =\Big(\dfrac{143}{25},\;\dfrac{224}{25}\Big).
Portanto
B_3=\Big(\dfrac{143}{25},\;\dfrac{224}{25}\Big).

Passo 7

Interpreto o resultado geométrico das reflexões:
  • Os pontos A_3 e B_3 têm a mesma ordenada y=\dfrac{224}{25}. Ou seja, a imagem da reta AB após as três reflexões é uma reta horizontal
y=\dfrac{224}{25}.
  • Além disso, as abscissas de A_3 e B_3 são -\dfrac{32}{25} e \dfrac{143}{25}. O comprimento do segmento A_3B_3 é
\frac{143}{25}-\Big(-\frac{32}{25}\Big)=\frac{175}{25}=7,
que coincide com o comprimento de AB (a reflexão composta preserva comprimentos).
Como a imagem de AB é a reta horizontal y=\dfrac{224}{25}, a distância entre a reta AB (que é y=0) e essa reta imagem é simplesmente a diferença de ordenadas:
\operatorname{dist}\big(\text{reta }AB,\;\text{imagem}\big)=\dfrac{224}{25}.
Pelo argumento da reflexão (Passo 3), para qualquer escolha de M na reta AB a soma L coincide com a distância entre M e a correspondente imagem M_3 na reta y=\dfrac{224}{25}. Logo o menor possível de L é exatamente a menor distância entre as duas retas, isto é \dfrac{224}{25}, desde que se possa escolher M de modo que a reta que liga M a M_3 corte as retas na ordem correta BC, depois CD, depois DA.
Vamos verificar que isso é possível: como as duas retas são horizontais e os domínios de abscissas se sobrepõem (a imagem tem abscissas de -\tfrac{32}{25} a \tfrac{143}{25} e AB tem abscissas de 0 a 7), podemos escolher um M com abscissa x satisfazendo 4\le x\le \tfrac{143}{25} (por exemplo x=4). Para tal escolha a reta que une M(x,0) a M_3(x,\tfrac{224}{25}) é vertical e intersecta as retas na ordem desejada (primeiro BC, depois CD em y=4, depois DA). Portanto a configuração válida existe e atinge a distância mínima.

Passo 8

Conclusão numérica: a menor soma possível é
L_{\min}=\dfrac{224}{25}.
Em forma decimal isso é L_{\min}=8{,}96.

Resposta

\dfrac{224}{25}

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