Represente os numeros complexos na forma a + bi
(1+i)(1-2 i)(2+i)(1-2 i)

Passo 1

Beleza! O exercício pede para representar o número complexo (1+i)(1-2i)(2+i)(1-2i) na forma a + bi. Isso está dentro do tema de números complexos, e vamos precisar saber como multiplicar e simplificar expressões com esses números para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão (1+i)(1-2i)(2+i)(1-2i). Perceba que o termo (1-2i) aparece tanto no numerador quanto no denominador. Isso é ótimo porque a gente pode cancelar esse termo para simplificar a expressão:
(1+i)cancel(1-2i)(2+i)cancel(1-2i) = 1+i2+i
Agora, nosso objetivo é simplificar 1+i2+i e colocá-lo na forma a + bi.

Passo 3

Para simplificar 1+i2+i, precisamos eliminar o número complexo do denominador. Fazemos isso multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de 2+i é 2-i.
1+i2+i times 2-i2-i = (1+i)(2-i)(2+i)(2-i)

Passo 4

Vamos multiplicar as expressões no numerador e no denominador:
Numerador:
(1+i)(2-i) = 1 times 2 + 1 times (-i) + i times 2 + i times (-i) = 2 - i + 2i - i^2
Lembrando que i^2 = -1, então:
2 - i + 2i - (-1) = 2 + i + 1 = 3 + i
Denominador:
(2+i)(2-i) = 2 times 2 + 2 times (-i) + i times 2 + i times (-i) = 4 - 2i + 2i - i^2
Novamente, i^2 = -1, então:
4 - 2i + 2i - (-1) = 4 + 1 = 5

Passo 5

Agora, nossa expressão ficou assim:
3 + i5
Podemos dividir cada termo por 5 para deixar na forma a + bi:
35 + 15i

Resposta

35 + 15i

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