Represente os pares de ponto no plano cartesiano e determine a distância entre eles:
e
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: representar os pontos no plano cartesiano e determinar a distância entre eles. As informações dadas são os pares ordenados
e
.
Passo 2
Como representar os pontos no plano cartesiano: o plano tem um eixo horizontal chamado eixo
(positivo para a direita, negativo para a esquerda) e um eixo vertical chamado eixo
(positivo para cima, negativo para baixo). Para plotar um ponto
você anda
unidades ao longo do eixo
e depois
unidades ao longo do eixo
.
- Para o ponto
: comece na origem , vá unidades para a esquerda (porque ) e então suba unidade (porque ). Esse ponto fica no segundo quadrante. - Para o ponto
: da origem vá unidades para a esquerda (porque ) e suba unidades (porque ). Também fica no segundo quadrante, mais à esquerda e muito mais acima que o primeiro ponto.
Na prova, desenhe os eixos, marque as unidades e coloque esses dois pontos com pequenos círculos e nomes.
Passo 3
Agora vamos calcular a distância entre dois pontos. A ideia é formar um triângulo retângulo cujos catetos são as diferenças horizontal e vertical entre os pontos; a distância pedida é a hipotenusa desse triângulo. A fórmula geral (derivada do Teorema de Pitágoras) é:
onde
e
são os dois pontos e
é a distância entre eles. Aqui
é a diferença na direção
(comprimento do cateto horizontal) e
é a diferença na direção
(cateto vertical). O quadrado e a raiz vêm do Teorema de Pitágoras: hipotenusa ao quadrado é soma dos quadrados dos catetos.
Passo 4
Aplique a fórmula aos pontos dados. Escolho
e
. Então substituímos nas expressões das diferenças:
Passo 5
Calcule as diferenças passo a passo:
Obs.: O sinal das diferenças não importa antes de elevar ao quadrado, porque
.
Passo 6
Eleve ao quadrado os catetos e some:
Passo 7
Agora a distância é a raiz quadrada dessa soma:
Verificamos se dá para simplificar:
e
é primo, não há quadrado perfeito como fator, então
é a forma exata final. Como referência numérica aproximada,
.
Passo 8
Resumo prático para a prova: desenhe os eixos, marque
e
, trace o segmento que liga os pontos; desenhe os catetos horizontal e vertical para formar o triângulo retângulo; use a fórmula
e calcule como fizemos acima.
Resposta
Representação: pontos
e
no plano cartesiano (ambos no 2.º quadrante).
Distância: (aprox.
).
Distância: