Represente os pares de ponto no plano cartesiano e determine a distância entre eles:
(-2,1) e (-5,8)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: representar os pontos no plano cartesiano e determinar a distância entre eles. As informações dadas são os pares ordenados (-2,1) e (-5,8).

Passo 2

Como representar os pontos no plano cartesiano: o plano tem um eixo horizontal chamado eixo x (positivo para a direita, negativo para a esquerda) e um eixo vertical chamado eixo y (positivo para cima, negativo para baixo). Para plotar um ponto (x,y) você anda x unidades ao longo do eixo x e depois y unidades ao longo do eixo y.
  • Para o ponto (-2,1): comece na origem (0,0), vá 2 unidades para a esquerda (porque x=-2) e então suba 1 unidade (porque y=1). Esse ponto fica no segundo quadrante.
  • Para o ponto (-5,8): da origem vá 5 unidades para a esquerda (porque x=-5) e suba 8 unidades (porque y=8). Também fica no segundo quadrante, mais à esquerda e muito mais acima que o primeiro ponto.
    Na prova, desenhe os eixos, marque as unidades e coloque esses dois pontos com pequenos círculos e nomes.

Passo 3

Agora vamos calcular a distância entre dois pontos. A ideia é formar um triângulo retângulo cujos catetos são as diferenças horizontal e vertical entre os pontos; a distância pedida é a hipotenusa desse triângulo. A fórmula geral (derivada do Teorema de Pitágoras) é:
d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2},
onde (x_1,y_1) e (x_2,y_2) são os dois pontos e d é a distância entre eles. Aqui (x_2-x_1) é a diferença na direção x (comprimento do cateto horizontal) e (y_2-y_1) é a diferença na direção y (cateto vertical). O quadrado e a raiz vêm do Teorema de Pitágoras: hipotenusa ao quadrado é soma dos quadrados dos catetos.

Passo 4

Aplique a fórmula aos pontos dados. Escolho (x_1,y_1)=(-2,1) e (x_2,y_2)=(-5,8). Então substituímos nas expressões das diferenças:
x_2-x_1 = -5 - (-2),
y_2-y_1 = 8 - 1.

Passo 5

Calcule as diferenças passo a passo:
x_2-x_1 = -5 - (-2) = -5 + 2 = -3,
y_2-y_1 = 8 - 1 = 7.
Obs.: O sinal das diferenças não importa antes de elevar ao quadrado, porque (-3)^2 = 3^2.

Passo 6

Eleve ao quadrado os catetos e some:
(-3)^2 = 9,\qquad 7^2 = 49,
9 + 49 = 58.

Passo 7

Agora a distância é a raiz quadrada dessa soma:
d = \sqrt{58}.
Verificamos se dá para simplificar: 58=2\cdot29 e 29 é primo, não há quadrado perfeito como fator, então \sqrt{58} é a forma exata final. Como referência numérica aproximada, \sqrt{58}\approx 7,62.

Passo 8

Resumo prático para a prova: desenhe os eixos, marque (-2,1) e (-5,8), trace o segmento que liga os pontos; desenhe os catetos horizontal e vertical para formar o triângulo retângulo; use a fórmula d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} e calcule como fizemos acima.

Resposta

Representação: pontos (-2,1) e (-5,8) no plano cartesiano (ambos no 2.º quadrante).
Distância: \sqrt{58} (aprox. 7,62).

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