Represente no plano de Argand-Gauss o conjunto dos pontos z tais que:
Passo 1
O enunciado pede para representar no plano de Argand-Gauss o conjunto dos pontos
tais que
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A variável complexa é
. - A condição é a equação de módulo
. - Não há mais informações escondidas: só essa igualdade.
Passo 2
Vamos lembrar como interpretar números complexos no plano de Argand-Gauss (explicação passo a passo, sem pressa).\n
- Escrevemos um número complexo como
, onde é a parte real e é a parte imaginária. Aqui e são números reais.\n - No plano de Argand, o eixo horizontal é a parte real (eixo
) e o eixo vertical é a parte imaginária (eixo ). Então o ponto correspondente a é .\n - O módulo
mede a distância entre os pontos que representam e no plano. Ou seja, é a distância euclidiana entre e .
Passo 3
Agora substituímos
na equação dada para passar para coordenadas cartesianas e identificar a figura geométrica.\n
Calcule :
Calcule
O módulo de
é a distância ao ponto
, e por definição
A condição dada é
, logo escrevemos
Passo 4
Eliminamos a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado (isso é seguro porque ambas as partes são não negativas):
Vou te explicar o que essa equação significa: é a equação padrão de um círculo no plano cartesiano. A forma geral de um círculo é
onde
é o centro e
é o raio. Comparando com nossa equação, vemos que
,
e
.
Passo 5
Interpretação geométrica concreta (como você desenharia na prova):\n
- Centro do círculo:
— isto corresponde ao ponto no plano de Argand.\n - Raio do círculo:
.\n
Portanto o conjuntoé exatamente o círculo de centro e raio .
Passo 6
Vamos listar alguns pontos úteis que ajudam a esboçar o círculo à mão, sem calculadora:\n
- Se
(eixo imaginário), da equação temos , logo . Os pontos são e , ou seja e .\n - Se
(linha horizontal passando pelo centro), temos , logo . Os pontos são e , ou seja e .\n - Não há interseção com o eixo real (
), porque substituir daria , impossível.
Passo 7
Como desenhar no Argand-Gauss: desenhe os eixos Re (horizontal) e Im (vertical), marque o centro em
, marque alguns pontos como
para visualizar, e trace a circunferência de raio
ao redor do centro. Pronto — esse é o conjunto pedido. Força aí — você já sabe o que desenhar na prova!
Resposta
Círculo de centro
(ou
) e raio
.