Represente no plano de Argand-Gauss o conjunto dos pontos z tais que:
|\mathrm{z}-3 \mathrm{i}|=2

Passo 1

O enunciado pede para representar no plano de Argand-Gauss o conjunto dos pontos z tais que |\mathrm{z}-3 \mathrm{i}|=2.\n
Informações dadas:
  • A variável complexa é z.
  • A condição é a equação de módulo |z-3i|=2.
  • Não há mais informações escondidas: só essa igualdade.

Passo 2

Vamos lembrar como interpretar números complexos no plano de Argand-Gauss (explicação passo a passo, sem pressa).\n
  • Escrevemos um número complexo como z=x+iy, onde x é a parte real e y é a parte imaginária. Aqui x e y são números reais.\n
  • No plano de Argand, o eixo horizontal é a parte real (eixo x) e o eixo vertical é a parte imaginária (eixo y). Então o ponto correspondente a z=x+iy é (x,y).\n
  • O módulo |z-w| mede a distância entre os pontos que representam z e w no plano. Ou seja, |z-w| é a distância euclidiana entre (\Re z,\Im z) e (\Re w,\Im w).

Passo 3

Agora substituímos z=x+iy na equação dada para passar para coordenadas cartesianas e identificar a figura geométrica.\n
Calcule z-3i:
z-3i = x+iy-3i = x + i(y-3).
O módulo de z-3i é a distância ao ponto (0,3), e por definição
|z-3i| = \sqrt{x^{2}+(y-3)^{2}}.
A condição dada é |z-3i|=2, logo escrevemos
\sqrt{x^{2}+(y-3)^{2}} = 2.

Passo 4

Eliminamos a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado (isso é seguro porque ambas as partes são não negativas):
x^{2}+(y-3)^{2} = 4.
Vou te explicar o que essa equação significa: é a equação padrão de um círculo no plano cartesiano. A forma geral de um círculo é
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2},
onde (a,b) é o centro e r é o raio. Comparando com nossa equação, vemos que a=0, b=3 e r=2.

Passo 5

Interpretação geométrica concreta (como você desenharia na prova):\n
  • Centro do círculo: (0,3) — isto corresponde ao ponto 3i no plano de Argand.\n
  • Raio do círculo: 2.\n
    Portanto o conjunto \{z:|z-3i|=2\} é exatamente o círculo de centro 3i e raio 2.

Passo 6

Vamos listar alguns pontos úteis que ajudam a esboçar o círculo à mão, sem calculadora:\n
  • Se x=0 (eixo imaginário), da equação temos (y-3)^{2}=4, logo y=3\pm2. Os pontos são (0,5) e (0,1), ou seja 5i e i.\n
  • Se y=3 (linha horizontal passando pelo centro), temos x^{2}=4, logo x=\pm2. Os pontos são (2,3) e (-2,3), ou seja 2+3i e -2+3i.\n
  • Não há interseção com o eixo real ( y=0), porque substituir y=0 daria x^{2}+9=4, impossível.

Passo 7

Como desenhar no Argand-Gauss: desenhe os eixos Re (horizontal) e Im (vertical), marque o centro em (0,3), marque alguns pontos como (0,5),(0,1),(2,3),(-2,3) para visualizar, e trace a circunferência de raio 2 ao redor do centro. Pronto — esse é o conjunto pedido. Força aí — você já sabe o que desenhar na prova!

Resposta

x^{2}+(y-3)^{2}=4
Círculo de centro (0,3) (ou 3i) e raio 2.

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