Represente no plano cartesiano os vértices de um triângulo equilátero de lado 6 , onde um dos lados está no eixo das ordenadas, o ponto A(0,2) é um vértice do triângulo e o ponto B que também é vértice do triângulo está no 4^circ quadrante.

Passo 1

O enunciado pede para representar no plano cartesiano um triângulo equilátero de lado 6, com um dos lados sobre o eixo das ordenadas, sabendo que um vértice é A(0,2) e que o vértice B deve estar no 4º quadrante. O conteúdo aqui é geometria analítica: vamos usar a distância entre pontos e a construção de um triângulo equilátero.

Passo 2

Como um dos lados do triângulo está sobre o eixo das ordenadas e um de seus extremos é A(0,2), vamos chamar o outro extremo desse lado de C, também com abscissa zero. A distância AC deve ser 6, então C satisfaz
d(A,C)=6 implies raiz(0-0)^2 + (yC-2)^2=6 implies |yC-2|=6

Passo 3

Da equação |yC-2|=6 obtemos duas possibilidades para C:
C1=(0,2+6)=(0,8) ou C2=(0,2-6)=(0,-4)
Agora precisamos encontrar o terceiro vértice B, interseção de dois círculos de raio 6 centrados em A e em cada candidato a C. A distância entre os centros A e C é exatamente 6, então as interseções formam um triângulo equilátero.

Passo 4

Para cada caso o terceiro vértice B fica a uma distância horizontal
x=pmraiz6^2 - l(tfrac62r)^2=pmraiz36-9=pm3raiz3,
e a ordenada de B é o valor médio entre as ordenadas de A e de C. No caso C_1=(0,8) o ponto médio tem y=(2+8)/2=5, dando
B=l(pm3raiz3,5r);
já para C_2=(0,-4) o ponto médio tem y=(2-4)/2=-1, fornecendo
B=l(pm3raiz3,-1r)

Passo 5

Como queremos B no 4º quadrante (x>0 e y<0), escolhemos
B=l(3raiz3,-1r)
e portanto fixamos C como C=(0,-4).

Resposta

Os vértices do triângulo equilátero são A(0,2), C(0,-4) e B(3\sqrt{3},-1).

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