Represente no plano cartesiano os vértices de um triângulo equilátero de lado 6 , onde um dos lados está no eixo das ordenadas, o ponto
é um vértice do triângulo e o ponto
que também é vértice do triângulo está no
quadrante.
Passo 1
O enunciado pede para representar no plano cartesiano um triângulo equilátero de lado 6, com um dos lados sobre o eixo das ordenadas, sabendo que um vértice é A(0,2) e que o vértice B deve estar no 4º quadrante. O conteúdo aqui é geometria analítica: vamos usar a distância entre pontos e a construção de um triângulo equilátero.
Passo 2
Como um dos lados do triângulo está sobre o eixo das ordenadas e um de seus extremos é A(0,2), vamos chamar o outro extremo desse lado de C, também com abscissa zero. A distância AC deve ser 6, então C satisfaz
Passo 3
Da equação
obtemos duas possibilidades para C:
Agora precisamos encontrar o terceiro vértice B, interseção de dois círculos de raio 6 centrados em A e em cada candidato a C. A distância entre os centros A e C é exatamente 6, então as interseções formam um triângulo equilátero.
Passo 4
Para cada caso o terceiro vértice B fica a uma distância horizontal
e a ordenada de B é o valor médio entre as ordenadas de A e de C. No caso C_1=(0,8) o ponto médio tem y=(2+8)/2=5, dando
já para C_2=(0,-4) o ponto médio tem y=(2-4)/2=-1, fornecendo
Passo 5
Como queremos B no 4º quadrante (x>0 e y<0), escolhemos
e portanto fixamos C como C=(0,-4).
Resposta
Os vértices do triângulo equilátero são A(0,2), C(0,-4) e B(3\sqrt{3},-1).