Represente no plano a região delimitada pelos gráficos de y=0, y=1, x=y^2-43 e x=e^y e use uma integral para calcular sua área.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a região limitada pelas retas y=0 e y=1 e pelas curvas x=y^2-tfrac43 e x=e^y. O conteúdo é cálculo de área de região no plano usando integrais. Para resolver, vamos integrar em relação a y usando a fórmula A=integrala^b(xdireita-xesquerda),dy.

Passo 2

Determinar os limites de integração em y: a região vai de y=0 a y=1, pois estas são as retas horizontais que fecham a região. As abscissas das curvas nos limites são xesq(y)=y^2-tfrac43 e xdir(y)=e^y.

Passo 3

Montar a integral da área:
A=integral0^1l(e^y-(y^2-tfrac43)r),dy

Passo 4

Calcular cada termo separadamente: integral0^1e^y,dy=e-1, integral0^1y^2,dy=tfrac13 e integral0^1tfrac43,dy=tfrac43.

Passo 5

Combinar os resultados:
A=(e-1)-tfrac13+tfrac43=e

Resposta

e

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