Represente na reta os números positivos exatamente representáveis do sistema de ponto flutuante normalizado \operatorname{SPF}(3,2,-1,2).

Passo 1

O enunciado pede: representar na reta os números positivos exatamente representáveis no sistema de ponto flutuante normalizado \operatorname{SPF}(3,2,-1,2).
Dados fornecidos (peguei tudo do enunciado):
  • base \beta = 3;
  • número de algarismos da mantissa t = 2;
  • expoente mínimo L = -1;
  • expoente máximo U = 2.
O que devemos devolver: a lista (ordenada) dos números positivos que têm representação normalizada nesse sistema, e suas posições numéricas (frações ou inteiros) para pôr na reta.

Passo 2

Entendendo como é uma representação normalizada em \operatorname{SPF}(\beta,t,L,U).
  • Uma mantissa normalizada de t=2 dígitos em base \beta=3 tem a forma (d_1.d_2)_3 com d_1\in\{1,2\} (não pode ser zero porque é normalizada) e d_2\in\{0,1,2\}.
  • Um número positivo representável tem a forma
(d_1.d_2)_3 \times 3^{e},
com e inteiro tal que -1 \le e \le 2.
Vou usar a forma equivalente em valor real:
(d_1.d_2)_3 = d_1 + \frac{d_2}{3},
portanto
\text{valor} = \Bigl(d_1 + \frac{d_2}{3}\Bigr)\,3^{e}.

Passo 3

Quantos números positivos há?
  • d_1 tem 2 possibilidades ( 1 ou 2).
  • d_2 tem 3 possibilidades ( 0,1,2).
  • e tem 4 possibilidades ( -1,0,1,2).
    Total de positivos: 2\cdot 3\cdot 4 = 24. Vou listar os 24 explicitamente e ordená-los.

Passo 4

Calcular os valores para e=-1. Fórmula:
\text{valor} = \Bigl(d_1 + \frac{d_2}{3}\Bigr)3^{-1} = \frac{d_1}{3} + \frac{d_2}{9}.
Agora os seis casos ( d_1\in\{1,2\}, d_2\in\{0,1,2\}):
(1.0)_3\times 3^{-1}=\frac{1}{3}, \qquad (1.1)_3\times 3^{-1}=\frac{4}{9}, \qquad (1.2)_3\times 3^{-1}=\frac{5}{9},
(2.0)_3\times 3^{-1}=\frac{2}{3}, \qquad (2.1)_3\times 3^{-1}=\frac{7}{9}, \qquad (2.2)_3\times 3^{-1}=\frac{8}{9}.
Observação: esses valores ficam no intervalo \bigl[\tfrac{1}{3},1\bigr).

Passo 5

Calcular os valores para e=0. Fórmula:
\text{valor} = d_1 + \frac{d_2}{3}.
Os seis valores:
(1.0)_3\times 3^{0}=1, \qquad (1.1)_3\times 3^{0}=\frac{4}{3}, \qquad (1.2)_3\times 3^{0}=\frac{5}{3},
(2.0)_3\times 3^{0}=2, \qquad (2.1)_3\times 3^{0}=\frac{7}{3}, \qquad (2.2)_3\times 3^{0}=\frac{8}{3}.
Esses ficam em [1,3).

Passo 6

Calcular os valores para e=1. Fórmula:
\text{valor} = \Bigl(d_1 + \frac{d_2}{3}\Bigr)3 = 3d_1 + d_2.
Os seis valores (note que resultam em inteiros):
(1.0)_3\times 3^{1}=3, \qquad (1.1)_3\times 3^{1}=4, \qquad (1.2)_3\times 3^{1}=5,
(2.0)_3\times 3^{1}=6, \qquad (2.1)_3\times 3^{1}=7, \qquad (2.2)_3\times 3^{1}=8.
Esses estão em [3,9).

Passo 7

Calcular os valores para e=2. Fórmula:
\text{valor} = \Bigl(d_1 + \frac{d_2}{3}\Bigr)9 = 9d_1 + 3d_2.
Os seis valores:
(1.0)_3\times 3^{2}=9, \qquad (1.1)_3\times 3^{2}=12, \qquad (1.2)_3\times 3^{2}=15,
(2.0)_3\times 3^{2}=18, \qquad (2.1)_3\times 3^{2}=21, \qquad (2.2)_3\times 3^{2}=24.
Esses estão em [9,27).

Passo 8

Organizar todos os 24 números em ordem crescente (juntando os blocos por expoente). Também comento sobre espaçamento: dentro de cada bloco de expoente fixo os valores são separados pelo incremento mínimo correspondente ao aumento de d_2 em 1; esse passo discreto tem tamanho igual a 3^{e-1} (para \beta=3,t=2). Exemplos: para e=-1 o passo é 3^{-2}=\tfrac{1}{9}; para e=0 é 3^{-1}=\tfrac{1}{3}; para e=1 é 3^{0}=1; para e=2 é 3^{1}=3.
Agora a lista ordenada (cada item com sua forma em base 3 e o valor real):

Resposta

(1.0)_3\times3^{-1}=\tfrac{1}{3}
(1.1)_3\times3^{-1}=\tfrac{4}{9}
(1.2)_3\times3^{-1}=\tfrac{5}{9}
(2.0)_3\times3^{-1}=\tfrac{2}{3}
(2.1)_3\times3^{-1}=\tfrac{7}{9}
(2.2)_3\times3^{-1}=\tfrac{8}{9}
(1.0)_3\times3^{0}=1
(1.1)_3\times3^{0}=\tfrac{4}{3}
(1.2)_3\times3^{0}=\tfrac{5}{3}
(2.0)_3\times3^{0}=2
(2.1)_3\times3^{0}=\tfrac{7}{3}
(2.2)_3\times3^{0}=\tfrac{8}{3}
(1.0)_3\times3^{1}=3
(1.1)_3\times3^{1}=4
(1.2)_3\times3^{1}=5
(2.0)_3\times3^{1}=6
(2.1)_3\times3^{1}=7
(2.2)_3\times3^{1}=8
(1.0)_3\times3^{2}=9
(1.1)_3\times3^{2}=12
(1.2)_3\times3^{2}=15
(2.0)_3\times3^{2}=18
(2.1)_3\times3^{2}=21
(2.2)_3\times3^{2}=24

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