Uma concessionária de automóveis decidiu mudar a política de pagamentos de seus vendedores. Estes recebiam um salário fixo por mês, e agora a empresa propõe duas formas de pagamentos. A opção 1 oferece um pagamento fixo de
1000,00
\mathrm{R} $185,00
\mathrm{R} $ 2
\mathrm{R} $90,00$ por carro vendido. A partir de quantos carros vendidos a opção 1 passa a ser estritamente mais lucrativa que a opção 2 ?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados do enunciado:
- Opção 1: pagamento fixo de
mais comissão de por carro vendido. - Opção 2: pagamento fixo de
mais comissão de por carro vendido.
- Opção 1: pagamento fixo de
-
O que o enunciado pede:
- A partir de quantos carros vendidos a Opção 1 passa a ser estritamente mais lucrativa que a Opção 2?
Passo 2
Definir variável para modelar a situação.
- Seja
o número de carros vendidos por mês. Aqui é um número inteiro não negativo ( ) porque não faz sentido vender uma fração de carro.
Passo 3
Modelar as receitas mensais de cada opção como funções lineares de
.
- Receita da Opção 1: é um valor fixo mais comissão por carro, então
-
Explicação: o termo
é o valor que o vendedor recebe mesmo com (intercepto). O coeficiente é a taxa por carro (inclinação): a cada carro vendido a renda aumenta em . -
Receita da Opção 2:
- Explicação análoga:
é o salário base e é a comissão por carro.
Passo 4
Traduzir a condição “Opção 1 estritamente mais lucrativa que Opção 2” em desigualdade matemática.
- Queremos os
tais que
- Substituindo as expressões:
Passo 5
Resolver a desigualdade passo a passo, explicando cada operação.
- Primeiro, isolar os termos com
num lado e constantes no outro. Subtraio de ambos os lados (isso mantém a desigualdade com o mesmo sentido):
- Simplificando
:
- Agora subtraio
de ambos os lados:
- Calculo
:
- Divido ambos os lados por
. Como , o sentido da desigualdade não muda:
- Simplificando a fração por
:
- Observando que
, obtemos
Passo 6
Interpretar o resultado no contexto discreto (número de carros é inteiro).
- A desigualdade
diz que a Opção 1 é estritamente melhor quando o número de carros vendidos é maior que . - Como
deve ser inteiro, o menor inteiro que satisfaz é . - Observação útil: para
as duas opções dão o mesmo ganho. Verificar rapidamente: -
-
- Portanto em
carros os salários são iguais; para carros a Opção 1 já é estritamente maior.
-
Passo 7
Conclusão final e dica de prova rápida.
- Conclusão: a Opção 1 passa a ser estritamente mais lucrativa a partir de
carros vendidos. - Dica prática para a prova: modele cada opção por uma função linear da forma
, coloque a desigualdade se for “estritamente”, resolva e tome o menor inteiro maior que o resultado se precisar ser inteiro. Força — já é meio caminho andado!
Resposta
A partir de 12 carros vendidos.