Uma concessionária de automóveis decidiu mudar a política de pagamentos de seus vendedores. Estes recebiam um salário fixo por mês, e agora a empresa propõe duas formas de pagamentos. A opção 1 oferece um pagamento fixo de \mathrm{R} \ 1000,00 mais uma comissão deã\mathrm{R} $185,00 por carro vendido. A opção 2 oferece um salário deçãá\mathrm{R} $ 2 045,00 mais uma comissão deã\mathrm{R} $90,00$ por carro vendido. A partir de quantos carros vendidos a opção 1 passa a ser estritamente mais lucrativa que a opção 2 ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Opção 1: pagamento fixo de \mathrm{R}\$\,1000,00 mais comissão de \mathrm{R}\$\,185,00 por carro vendido.
    • Opção 2: pagamento fixo de \mathrm{R}\$\,2045,00 mais comissão de \mathrm{R}\$\,90,00 por carro vendido.
  • O que o enunciado pede:
    • A partir de quantos carros vendidos a Opção 1 passa a ser estritamente mais lucrativa que a Opção 2?

Passo 2

Definir variável para modelar a situação.
  • Seja x o número de carros vendidos por mês. Aqui x é um número inteiro não negativo ( x\in\{0,1,2,\dots\}) porque não faz sentido vender uma fração de carro.

Passo 3

Modelar as receitas mensais de cada opção como funções lineares de x.
  • Receita da Opção 1: é um valor fixo mais comissão por carro, então
R_1(x)=1000+185x.
  • Explicação: o termo 1000 é o valor que o vendedor recebe mesmo com x=0 (intercepto). O coeficiente 185 é a taxa por carro (inclinação): a cada carro vendido a renda aumenta em \mathrm{R}\$\,185{,}00.
  • Receita da Opção 2:
R_2(x)=2045+90x.
  • Explicação análoga: 2045 é o salário base e 90 é a comissão por carro.

Passo 4

Traduzir a condição “Opção 1 estritamente mais lucrativa que Opção 2” em desigualdade matemática.
  • Queremos os x tais que
R_1(x)>R_2(x).
  • Substituindo as expressões:
1000+185x>2045+90x.

Passo 5

Resolver a desigualdade passo a passo, explicando cada operação.
  • Primeiro, isolar os termos com x num lado e constantes no outro. Subtraio 90x de ambos os lados (isso mantém a desigualdade com o mesmo sentido):
1000+185x-90x>2045.
  • Simplificando 185x-90x:
1000+95x>2045.
  • Agora subtraio 1000 de ambos os lados:
95x>2045-1000.
  • Calculo 2045-1000:
95x>1045.
  • Divido ambos os lados por 95. Como 95>0, o sentido da desigualdade não muda:
x>\frac{1045}{95}.
  • Simplificando a fração por 5:
x>\frac{209}{19}.
  • Observando que 19\cdot 11=209, obtemos
x>11.

Passo 6

Interpretar o resultado no contexto discreto (número de carros é inteiro).
  • A desigualdade x>11 diz que a Opção 1 é estritamente melhor quando o número de carros vendidos é maior que 11.
  • Como x deve ser inteiro, o menor inteiro que satisfaz x>11 é x=12.
  • Observação útil: para x=11 as duas opções dão o mesmo ganho. Verificar rapidamente:
    • R_1(11)=1000+185\cdot 11=1000+2035=3035.
    • R_2(11)=2045+90\cdot 11=2045+990=3035.
    • Portanto em 11 carros os salários são iguais; para 12 carros a Opção 1 já é estritamente maior.

Passo 7

Conclusão final e dica de prova rápida.
  • Conclusão: a Opção 1 passa a ser estritamente mais lucrativa a partir de 12 carros vendidos.
  • Dica prática para a prova: modele cada opção por uma função linear da forma \text{base}+\text{comissão}\cdot xã, coloque a desigualdade > se for “estritamente”, resolva e tome o menor inteiro maior que o resultado se x precisar ser inteiro. Força — já é meio caminho andado!

Resposta

A partir de 12 carros vendidos.

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