Represente a seguinte curva por uma função com valor vetorial *
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para representarmos a curva
com
usando uma função vetorial. Isso está relacionado ao estudo de funções vetoriais na matéria de Cálculo ou Geometria Analítica. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar a equação de uma curva em uma representação vetorial, usando parametrizações.
Passo 2
Primeiro, reconhecemos que a equação
é a de uma elipse. Uma elipse é uma curva fechada onde a soma das distâncias de dois pontos fixos (focos) é constante. As elipses têm duas semi-axes: a maior e a menor.
Passo 3
Vamos identificar os parâmetros da nossa elipse. A equação está na forma padrão
, onde:
-
então -
então
Aqui,
, então a maior semi-eixo está no eixo
e a menor no eixo
.
Passo 4
Para representar a elipse de forma vetorial, usamos uma parametrização que descreve cada ponto da curva em termos de um parâmetro, geralmente o ângulo
.
A parametrização padrão para uma elipse é:
onde
varia de
a
para percorrer toda a elipse.
Passo 5
No nosso caso, como queremos apenas
, isso significa que o parâmetro
não precisa variar de
a
, mas sim de
a
, garantindo que o cosseno seja positivo ou zero, mantendo
não negativo.
Passo 6
Assim, a função vetorial que representa a curva é:
com
no intervalo
.
Resposta
A função vetorial que representa a curva
com
é: