Represente a seguinte função de transferência em equações de espaço de estado na forma canônica controlável, e na forma canônica observável:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para representar a função de transferência $ G(s) = \frac{s + C}{s(B s^{2} + A s + (C + D))} $ em equações de espaço de estado nas formas canônica controlável e observável. Isso está dentro da matéria de sistemas lineares e controle, especificamente na modelagem de sistemas usando espaço de estado. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter uma função de transferência para o modelo de espaço de estado e conhecer as formas canônicas controlável e observável.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função de transferência. Podemos reescrever $ G(s) $ como:
Isso ajuda a visualizar melhor os termos que vamos trabalhar para a conversão.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar o numerador e o denominador por $ \frac{1}{s} $ para facilitar a manipulação:
Isso nos ajuda a identificar a estrutura polinomial do denominador, que será útil para construir as matrizes do espaço de estado.
Passo 4
Para cada forma canônica, precisamos identificar a ordem do sistema. Observando o denominador $ B s^{2} + A s + (C + D) $, vemos que é um polinômio de segunda ordem, então a ordem do sistema é 2. Isso significa que nossas matrizes de estado terão dimensões 2x2, 2x1 e 1x2, dependendo da forma canônica escolhida.
Passo 5
Vamos começar com a forma canônica controlável. Nessa forma, a matriz $ A $ é construída usando os coeficientes do denominador, a matriz $ B $ é uma coluna com zeros abaixo de 1, a matriz $ C $ é derivada do numerador e $ D $ é o ganho direto.
Para o denominador $ B s^{2} + A s + (C + D) $, os coeficientes são:
Então, a matriz $ A $ fica:
A matriz $ B $ é:
A matriz $ C $ vem do numerador $ s + C $, que corresponde aos coeficientes do polinômio do numerador. Então:
E $ D = 0 $ porque não há termo independente no numerador.
Passo 6
Agora, vamos para a forma canônica observável. Nessa forma, a matriz $ A $ será diferente, e a matriz $ C $ será uma coluna com os coeficientes do polinômio do denominador.
Usando os mesmos coeficientes $ a_2 = B $, $ a_1 = A $, $ a_0 = C + D $, a matriz $ A $ fica:
A matriz $ C $ agora é uma coluna:
A matriz $ B $ na forma observável costuma ser $ B =
$ e $ D = 0 $.
Resposta
Assim, as representações em espaço de estado são:
Forma Canônica Controlável:
Forma Canônica Observável: