Represente a seguinte função de transferência em equações de espaço de estado na forma canônica controlável, e na forma canônica observável:
G(s)=s+Cs(B s^2+A s+(C+D))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para representar a função de transferência $ G(s) = \frac{s + C}{s(B s^{2} + A s + (C + D))} $ em equações de espaço de estado nas formas canônica controlável e observável. Isso está dentro da matéria de sistemas lineares e controle, especificamente na modelagem de sistemas usando espaço de estado. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter uma função de transferência para o modelo de espaço de estado e conhecer as formas canônicas controlável e observável.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função de transferência. Podemos reescrever $ G(s) $ como:
G(s)
Isso ajuda a visualizar melhor os termos que vamos trabalhar para a conversão.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar o numerador e o denominador por $ \frac{1}{s} $ para facilitar a manipulação:
1s
Isso nos ajuda a identificar a estrutura polinomial do denominador, que será útil para construir as matrizes do espaço de estado.

Passo 4

Para cada forma canônica, precisamos identificar a ordem do sistema. Observando o denominador $ B s^{2} + A s + (C + D) $, vemos que é um polinômio de segunda ordem, então a ordem do sistema é 2. Isso significa que nossas matrizes de estado terão dimensões 2x2, 2x1 e 1x2, dependendo da forma canônica escolhida.

Passo 5

Vamos começar com a forma canônica controlável. Nessa forma, a matriz $ A $ é construída usando os coeficientes do denominador, a matriz $ B $ é uma coluna com zeros abaixo de 1, a matriz $ C $ é derivada do numerador e $ D $ é o ganho direto.
Para o denominador $ B s^{2} + A s + (C + D) $, os coeficientes são:
A
Então, a matriz $ A $ fica:
B
A matriz $ B $ é:
C
A matriz $ C $ vem do numerador $ s + C $, que corresponde aos coeficientes do polinômio do numerador. Então:
D
E $ D = 0 $ porque não há termo independente no numerador.

Passo 6

Agora, vamos para a forma canônica observável. Nessa forma, a matriz $ A $ será diferente, e a matriz $ C $ será uma coluna com os coeficientes do polinômio do denominador.
Usando os mesmos coeficientes $ a_2 = B $, $ a_1 = A $, $ a_0 = C + D $, a matriz $ A $ fica:
A
A matriz $ C $ agora é uma coluna:
C
A matriz $ B $ na forma observável costuma ser $ B = a2 = B $ e $ D = 0 $.

Resposta

Assim, as representações em espaço de estado são:
Forma Canônica Controlável:
A = 0 & 1 -C + DB & -AB , B = 0 1B , C = 1 & C , D = 0
Forma Canônica Observável:
A = -AB & -C + DB 1 & 0 , B = 0 1 , C = 1 C , D = 0

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