Represente
em serie de potencias de
e. por derivação termo a termo. prove que:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede-se representar a função
por uma série de potências em . - Pede-se, em seguida, diferenciar termo a termo essa série e provar uma igualdade envolvendo a derivada (vou provar que a derivada obtida por diferenciação termo a termo coincide com a derivada calculada pela regra do quociente e apresento ambas as formas).
Informações relevantes dadas:
- A função é
. - Conhecemos a série da exponencial (que vamos usar):
.
Passo 2
Explicando e lembrando a série de
(a base da construção):
- A série de potências de
é
Aqui cada termo é
:
é o índice de soma (começando em
),
é a potência, e
é o fatorial que normaliza o termo. Essa série converge para todo
(raio de convergência infinito), então podemos usar e manipular essa série livremente para qualquer
.
Passo 3
Obter a série de
passo a passo:
- Primeiro subtraímos
da série de (isso remove o termo de índice ):
- Agora dividimos por
. Como cada termo da soma tem um fator com , a divisão por é bem definida (exceto em , mas a série dará a expressão limite). Dividindo termo a termo:
- Para escrever essa soma com índice começando em
(às vezes mais confortável), fazemos a troca de índice . Então e quando temos . Assim:
Essa é a série de potências solicitada. Reescrevendo com a notação original de índice:
Comentário didático: cada termo é
. Note que a série tem raio de convergência infinito (herdado de
), então representa a função para todo
, e a manipulação acima (subtração e divisão por
) é justificada para obter a série formal (em
é igualdade direta; em
a série fornece o limite, que é
).
Passo 4
Justificando a diferenciação termo a termo (teorema usado e por que vale aqui):
- Teorema (em palavras simples): uma série de potências que converge num intervalo aberto em torno de
pode ser diferenciada termo a termo dentro do raio de convergência; a série derivada tem o mesmo raio de convergência. - No nosso caso a série para
tem raio de convergência infinito (porque vem de ), então podemos diferenciar termo a termo para todo . Portanto a diferenciação termo a termo é permitida.
Passo 5
Diferenciação termo a termo da série obtida:
- Pegamos
- Diferenciando cada termo
em relação a :
- O termo correspondente a
tem derivada (pois dá ), então a soma efetiva começa em . Assim, por diferenciação termo a termo,
Passo 6
Calcular a derivada da função pela regra do quociente e comparar (mostrar que as duas expressões coincidem):
- Aplicando a regra do quociente em
(para ):
- Podemos reescrever o numerador como
, então
- Agora mostramos que essa expressão coincide com a série obtida no passo anterior. Substituindo a série de
em :
- Desenvolvendo:
- Note que
(pois o termo em é , que cancela com o ). Logo
- Escrevendo ambas somas com potências
(pôr na primeira soma):
- Simplificando o coeficiente:
- Assim
- Dividindo por
(para obter ):
- Agora mudamos o índice para comparar com a série do passo 5. Na série do passo 5 tínhamos
façamos a substituição
nessa última série: quando
temos
, e
que coincide exatamente com a expressão obtida para
(a diferença da inclusão do índice
é irrelevante porque o termo
em
é zero). Portanto as duas formas são a mesma série/funcionalidade. Isso confirma que a diferenciação termo a termo produziu a derivada correta.
Passo 7
Resumo final do que foi provado (com um pouco de incentivo):
- Conseguimos escrever
como uma série de potências com raio infinito e diferenciá‑la termo a termo de forma totalmente válida. Você agora tem duas formas equivalentes da derivada: a forma em série (útil para cálculos de coeficientes) e a forma fechada (útil para avaliar numericamente). Vai dar certo na prova — respirou fundo? Continua que você faz isso!