Represente \frac{e^{x}-1}{x} em serie de potencias de x e. por derivação termo a termo. prove que:

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se representar a função \frac{e^{x}-1}{x} por uma série de potências em x.
  • Pede-se, em seguida, diferenciar termo a termo essa série e provar uma igualdade envolvendo a derivada (vou provar que a derivada obtida por diferenciação termo a termo coincide com a derivada calculada pela regra do quociente e apresento ambas as formas).
Informações relevantes dadas:
  • A função é \displaystyle f(x)=\frac{e^{x}-1}{x}.
  • Conhecemos a série da exponencial (que vamos usar): \displaystyle e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}.

Passo 2

Explicando e lembrando a série de e^{x} (a base da construção):
  • A série de potências de e^{x} é
e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}.
Aqui cada termo é \frac{x^{n}}{n!}: n é o índice de soma (começando em 0), x^{n} é a potência, e n! é o fatorial que normaliza o termo. Essa série converge para todo x (raio de convergência infinito), então podemos usar e manipular essa série livremente para qualquer x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Obter a série de \displaystyle \frac{e^{x}-1}{x} passo a passo:
  • Primeiro subtraímos 1 da série de e^{x} (isso remove o termo de índice 0):
e^{x}-1=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}.
  • Agora dividimos por x. Como cada termo da soma tem um fator x^{n} com n\ge1, a divisão por x é bem definida (exceto em x=0, mas a série dará a expressão limite). Dividindo termo a termo:
\frac{e^{x}-1}{x}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n!}.
  • Para escrever essa soma com índice começando em 0 (às vezes mais confortável), fazemos a troca de índice m=n-1. Então n= m+1 e quando n=1 temos m=0. Assim:
\frac{e^{x}-1}{x}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{x^{m}}{(m+1)!}.
Essa é a série de potências solicitada. Reescrevendo com a notação original de índice:
\boxed{\displaystyle \frac{e^{x}-1}{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{(n+1)!}.}
Comentário didático: cada termo é \dfrac{x^{n}}{(n+1)!}. Note que a série tem raio de convergência infinito (herdado de e^{x}), então representa a função para todo x, e a manipulação acima (subtração e divisão por x) é justificada para obter a série formal (em x\neq0 é igualdade direta; em x=0 a série fornece o limite, que é 1).

Passo 4

Justificando a diferenciação termo a termo (teorema usado e por que vale aqui):
  • Teorema (em palavras simples): uma série de potências que converge num intervalo aberto em torno de 0 pode ser diferenciada termo a termo dentro do raio de convergência; a série derivada tem o mesmo raio de convergência.
  • No nosso caso a série para \frac{e^{x}-1}{x} tem raio de convergência infinito (porque vem de e^{x}), então podemos diferenciar termo a termo para todo x\in\mathbb{R}. Portanto a diferenciação termo a termo é permitida.

Passo 5

Diferenciação termo a termo da série obtida:
  • Pegamos
\frac{e^{x}-1}{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{(n+1)!}.
  • Diferenciando cada termo \frac{x^{n}}{(n+1)!} em relação a x:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{n}}{(n+1)!}\right)=\frac{n\,x^{n-1}}{(n+1)!}.
  • O termo correspondente a n=0 tem derivada 0 (pois n=0 0\cdot x^{-1}=0), então a soma efetiva começa em n=1. Assim, por diferenciação termo a termo,
\boxed{\displaystyle \frac{d}{dx}\!\left(\frac{e^{x}-1}{x}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\,x^{n-1}}{(n+1)!}.}

Passo 6

Calcular a derivada da função pela regra do quociente e comparar (mostrar que as duas expressões coincidem):
  • Aplicando a regra do quociente em f(x)=\dfrac{e^{x}-1}{x} (para x\neq0):
f'(x)=\frac{x\cdot (e^{x}) - (e^{x}-1)\cdot 1}{x^{2}}=\frac{x e^{x}-e^{x}+1}{x^{2}}.
  • Podemos reescrever o numerador como (x-1)e^{x}+1, então
\boxed{\displaystyle f'(x)=\frac{(x-1)e^{x}+1}{x^{2}}.}
  • Agora mostramos que essa expressão coincide com a série obtida no passo anterior. Substituindo a série de e^{x} em (x-1)e^{x}+1:
(x-1)e^{x}+1=(x-1)\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}+1.
  • Desenvolvendo:
(x-1)e^{x}+1=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k+1}}{k!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}+1.
  • Note que -\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}+1=-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!} (pois o termo k=0 em -\sum é -1, que cancela com o +1). Logo
(x-1)e^{x}+1=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k+1}}{k!}-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}.
  • Escrevendo ambas somas com potências x^{m} (pôr m=k+1 na primeira soma):
(x-1)e^{x}+1=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{x^{m}}{(m-1)!}-\sum_{m=1}^{\infty}\frac{x^{m}}{m!} =\sum_{m=1}^{\infty}x^{m}\!\left(\frac{1}{(m-1)!}-\frac{1}{m!}\right).
  • Simplificando o coeficiente:
\frac{1}{(m-1)!}-\frac{1}{m!}=\frac{m-1}{m!}.
  • Assim
(x-1)e^{x}+1=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(m-1)\,x^{m}}{m!}.
  • Dividindo por x^{2} (para obter f'(x)):
f'(x)=\frac{(x-1)e^{x}+1}{x^{2}}=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(m-1)\,x^{m-2}}{m!}.
  • Agora mudamos o índice para comparar com a série do passo 5. Na série do passo 5 tínhamos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\,x^{n-1}}{(n+1)!}.
façamos a substituição m=n+1 nessa última série: quando n=1 temos m=2, e
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\,x^{n-1}}{(n+1)!}=\sum_{m=2}^{\infty}\frac{(m-1)\,x^{m-2}}{m!},
que coincide exatamente com a expressão obtida para f'(x) (a diferença da inclusão do índice m=1 é irrelevante porque o termo m=1 em \frac{(m-1)x^{m-2}}{m!} é zero). Portanto as duas formas são a mesma série/funcionalidade. Isso confirma que a diferenciação termo a termo produziu a derivada correta.

Passo 7

Resumo final do que foi provado (com um pouco de incentivo):
  • Conseguimos escrever \dfrac{e^{x}-1}{x} como uma série de potências com raio infinito e diferenciá‑la termo a termo de forma totalmente válida. Você agora tem duas formas equivalentes da derivada: a forma em série (útil para cálculos de coeficientes) e a forma fechada (útil para avaliar numericamente). Vai dar certo na prova — respirou fundo? Continua que você faz isso!

Resposta

\displaystyle \frac{e^{x}-1}{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{(n+1)!}.\n \displaystyle \frac{d}{dx}\!\left(\frac{e^{x}-1}{x}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\,x^{n-1}}{(n+1)!}=\frac{(x-1)e^{x}+1}{x^{2}}.

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