Represente os seguintes números no plano complexo.
Passo 1
O enunciado pede para representar no plano complexo o número
Informações dadas:
- O número complexo é
. - Não há figura fornecida; a representação pedida é a localização desse número no plano complexo (plano com eixo real e eixo imaginário).
Passo 2
O que é o “plano complexo” e como interpretar um número complexo como ponto:
corresponde ao ponto de coordenadas
no plano, onde:
-
é a parte real (eixo horizontal), -
é a parte imaginária (eixo vertical).
Aquié a unidade imaginária (o mesmo papel de que talvez já tenha visto).
Passo 3
Extrair as coordenadas de
. Para
temos, diretamente,
Ou seja, no plano complexo o ponto associado tem coordenadas
.
Passo 4
Como desenhar o ponto passo a passo (faça à mão na sua folha):
- Desenhe dois eixos perpendiculares: eixo horizontal marcado como
(real) e eixo vertical marcado como (imaginário). - Marque unidades iguais em cada eixo (1, 2, 3, …).
- A partir da origem, vá
unidades no eixo real (para a esquerda) e unidades no eixo imaginário (para baixo). - Marque o ponto e escreva
ao lado. Opcional: desenhe o vetor da origem até o ponto para visualizar módulo e argumento.
Observação: como
e
, o ponto fica no terceiro quadrante.
Passo 5
Calcular o módulo (distância ao origem). Fórmula e significado:
onde
e
são as coordenadas. Aplicando a
:
Isto é a distância do ponto
até a origem.
Passo 6
Calcular o argumento (ângulo entre o vetor e o eixo real). Ideia e fórmula:
- A fórmula básica é
, mas sozinho dá um ângulo principal entre e , então é preciso ajustar de acordo com o quadrante (usamos a convenção do para automatizar isso).
Paratemos e . Primeiro calcule o valor sem aviso de quadrante:
Como
e
(terceiro quadrante), o ângulo principal (no intervalo
) é
Convertendo para graus:
(Alternativamente, pode-se escrever o ângulo equivalente positivo:
.)
Passo 7
Escrever as formas polar e exponencial (úteis para representar geometricamente):
- Forma polar (com cosseno e seno):
- Forma exponencial:
Essas formas mostram explicitamente o módulo (comprimento) e o ângulo (direção) do vetor que representa
.
Passo 8
Resumo prático para a prova (o que escrever rapidamente):
- Identificar as partes real e imaginária:
, . - Marcar no plano o ponto
. - Se pedirem polar/exponencial, calular
e (ou ) e escrever as formas mostradas no passo anterior.
Resposta
Forma polar/exponencial: