Represente os seguintes números no plano complexo.
\mathbf{C} \boldsymbol{=} \boldsymbol{-} \mathbf{3} \boldsymbol{-} \mathbf{j 5}

Passo 1

O enunciado pede para representar no plano complexo o número
C = -3 - j5.
Informações dadas:
  • O número complexo é C = -3 - j5.
  • Não há figura fornecida; a representação pedida é a localização desse número no plano complexo (plano com eixo real e eixo imaginário).

Passo 2

O que é o “plano complexo” e como interpretar um número complexo como ponto:
\text{cada número } z=x+jyú
corresponde ao ponto de coordenadas (x,y) no plano, onde:
  • x=\Re(z) é a parte real (eixo horizontal),
  • y=\Im(z) é a parte imaginária (eixo vertical).
    Aqui j é a unidade imaginária (o mesmo papel de i que talvez já tenha visto).

Passo 3

Extrair as coordenadas de C. Para
C = -3 - j5
temos, diretamente,
\Re\text{(C)} = -3,\qquad \Im\text{(C)} = -5.
Ou seja, no plano complexo o ponto associado tem coordenadas (-3,-5).

Passo 4

Como desenhar o ponto passo a passo (faça à mão na sua folha):
  1. Desenhe dois eixos perpendiculares: eixo horizontal marcado como \Re (real) e eixo vertical marcado como \Im (imaginário).
  2. Marque unidades iguais em cada eixo (1, 2, 3, …).
  3. A partir da origem, vá -3 unidades no eixo real (para a esquerda) e -5 unidades no eixo imaginário (para baixo).
  4. Marque o ponto e escreva C ao lado. Opcional: desenhe o vetor da origem até o ponto para visualizar módulo e argumento.
Observação: como \Re\text{(C)}<0 e \Im\text{(C)}<0, o ponto fica no terceiro quadrante.

Passo 5

Calcular o módulo (distância ao origem). Fórmula e significado:
\text{Se } z=x+jy,\quad |z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
onde x e y são as coordenadas. Aplicando a C:
|C|=\sqrt{(-3)^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}\approx 5,831.
Isto é a distância do ponto (-3,-5) até a origem.

Passo 6

Calcular o argumento (ângulo entre o vetor e o eixo real). Ideia e fórmula:
  • A fórmula básica é \theta=\arctan\!\big(\tfrac{y}{x}\big), mas \arctan sozinho dá um ângulo principal entre -\tfrac{\pi}{2} e \tfrac{\pi}{2}, então é preciso ajustar de acordo com o quadrante (usamos a convenção do \operatorname{atan2}(y,x) para automatizar isso).
    Para C temos x=-3 e y=-5. Primeiro calcule o valor sem aviso de quadrante:
\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)=\arctan\!\left(\frac{-5}{-3}\right)=\arctan\!\left(\frac{5}{3}\right).
Como x<0 e y<0 (terceiro quadrante), o ângulo principal (no intervalo (-\pi,\pi]) é
\theta = -\pi + \arctan\!\left(\frac{5}{3}\right)\approx -2,111\\ \text{rad}.
Convertendo para graus:
\theta \approx -120,964^\circ.
(Alternativamente, pode-se escrever o ângulo equivalente positivo: \theta \approx \pi + \arctan\!\left(\tfrac{5}{3}\right)\approx 4,172\\ \text{rad}.)

Passo 7

Escrever as formas polar e exponencial (úteis para representar geometricamente):
  • Forma polar (com cosseno e seno):
C = |C|\big(\cos\theta + j\sin\theta\big)=\sqrt{34}\big(\cos(-2,111)+j\sin(-2,111)\big).
  • Forma exponencial:
C = |C|e^{j\theta}=\sqrt{34}\,e^{j(-2,111)}.
Essas formas mostram explicitamente o módulo (comprimento) e o ângulo (direção) do vetor que representa C.

Passo 8

Resumo prático para a prova (o que escrever rapidamente):
  • Identificar as partes real e imaginária: \Re\text{(C)}=-3, \Im\text{(C)}=-5.
  • Marcar no plano o ponto (-3,-5).
  • Se pedirem polar/exponencial, calular |C|=\sqrt{34} e \theta\approx -2,111\\ \text{rad} (ou -120,964^\circ) e escrever as formas mostradas no passo anterior.

Resposta

C corresponde ao ponto (-3,-5) no plano complexo.
Forma polar/exponencial: C=\sqrt{34}\big(\cos(-2,111)+j\sin(-2,111)\big)=\sqrt{34}\,e^{j(-2,111)}.

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