1. Represente f(x)=sen x como a soma de sua série de Taylor centrada em pi3.
    1Gual EXEROLD 5.14

Passo 1

A questão pede para representar a função f(x)=sin x como série de Taylor em torno do ponto a=pi/3. Isso envolve usar o conteúdo de séries de Taylor, que exige conhecer as derivadas de f avaliadas em a e a fórmula geral f(x)=sumn=0^infty f^(n)(a)n!(x-a)^n.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de f(x)=sin x e avaliá-las em a=pi/3. Note que elas formam um ciclo de período 4:
f(x)=sin x f(a)=sin(pi/3)=tfracraiz32
f'(x)=cos x f'(a)=cos(pi/3)=tfrac12
f''(x)=-sin x f''(a)=-tfracraiz32
f'''(x)=-cos x f'''(a)=-tfrac12
• A 4ª derivada volta a ser sin x, então f^(4)(a)=tfracraiz32, e assim por diante, repetindo a cada 4.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula de Taylor centrada em a=pi/3:
sin x=sumn=0^inftyf^(n)(pi/3)n!,(x-pi/3)^n
Substituindo os valores ciclo a ciclo (ordens 4n,4n+1,4n+2,4n+3) identificamos o padrão:
• Para k=4n: f^(4n)(pi/3)=tfracraiz32
• Para k=4n+1: f^(4n+1)(pi/3)=tfrac12
• Para k=4n+2: f^(4n+2)(pi/3)=-tfracraiz32
• Para k=4n+3: f^(4n+3)(pi/3)=-tfrac12
Com isso, a série fica organizada em blocos de 4 termos a cada n.

Resposta

sin x = sumn=0^inftygl(raiz32,(x-pi/3)^4n(4n)!+12,(x-pi/3)^4n+1(4n+1)!-raiz32,(x-pi/3)^4n+2(4n+2)!-12,(x-pi/3)^4n+3(4n+3)!gr)

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