- Represente
como a soma de sua série de Taylor centrada em
.
1Gual EXEROLD 5.14
1Gual EXEROLD 5.14
Passo 1
A questão pede para representar a função
como série de Taylor em torno do ponto
. Isso envolve usar o conteúdo de séries de Taylor, que exige conhecer as derivadas de
avaliadas em
e a fórmula geral
.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas de
e avaliá-las em
. Note que elas formam um ciclo de período 4:
• ⇒
• ⇒
• ⇒
• ⇒
• A 4ª derivada volta a ser , então
, e assim por diante, repetindo a cada 4.
•
•
•
•
• A 4ª derivada volta a ser
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula de Taylor centrada em
:
Substituindo os valores ciclo a ciclo (ordens
) identificamos o padrão:
• Para :
• Para :
• Para :
• Para :
• Para
• Para
• Para
• Para
Com isso, a série fica organizada em blocos de 4 termos a cada
.