- Ache uma fórmula para calcular a soma:
, para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma fórmula para calcular a soma da série infinita
, onde
. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries geométricas e um pouco de cálculo para manipular a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da série geométrica básica. A série geométrica é dada por:
Essa fórmula é super útil porque ela nos dá a soma de termos que aumentam geometricamente.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar a soma de
. Note que aqui temos um
multiplicando
, o que torna a série um pouco diferente da série geométrica simples. Para resolver isso, podemos derivar a série geométrica em relação a
.
Passo 4
Vamos derivar ambos os lados da série geométrica em relação a
:
No lado esquerdo, derivando termo a termo:
No lado direito, a derivada de
é:
Então, temos:
Passo 5
Agora, queremos a soma de
, e nossa série derivada está com
. Para alinhar as potências de
, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
:
Isso simplifica para:
Resposta
A soma da série
, para
, é dada por: