1. Ache uma fórmula para calcular a soma:
    sumn=0^+infty n x^n, para |x|<1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma fórmula para calcular a soma da série infinita sumn=0^+infty n x^n, onde |x| < 1. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries geométricas e um pouco de cálculo para manipular a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da série geométrica básica. A série geométrica é dada por:
sumn=0^+infty x^n = 11 - x, para |x| < 1
Essa fórmula é super útil porque ela nos dá a soma de termos que aumentam geometricamente.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar a soma de sumn=0^+infty n x^n. Note que aqui temos um n multiplicando x^n, o que torna a série um pouco diferente da série geométrica simples. Para resolver isso, podemos derivar a série geométrica em relação a x.

Passo 4

Vamos derivar ambos os lados da série geométrica em relação a x:
ddx ( sumn=0^+infty x^n ) = ddx ( 11 - x )
No lado esquerdo, derivando termo a termo:
sumn=0^+infty ddx (x^n) = sumn=0^+infty n x^n-1
No lado direito, a derivada de 11 - x é:
1(1 - x)^2
Então, temos:
sumn=0^+infty n x^n-1 = 1(1 - x)^2

Passo 5

Agora, queremos a soma de sumn=0^+infty n x^n, e nossa série derivada está com x^n-1. Para alinhar as potências de x, vamos multiplicar ambos os lados da equação por x:
x cdot sumn=0^+infty n x^n-1 = x cdot 1(1 - x)^2
Isso simplifica para:
sumn=0^+infty n x^n = x(1 - x)^2

Resposta

A soma da série sumn=0^+infty n x^n, para |x| < 1, é dada por:
sumn=0^+infty n x^n = x(1 - x)^2

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