Represente como uma série de potência a função f(x)=(x+2)^-3.

Passo 1

Então, a gente tem a função $ f(x) = (x + 2)^{-3} $ e precisamos representá-la como uma série de potência. Isso faz parte do conteúdo de séries de potências, que é muito útil para aproximar funções complicadas de uma forma mais simples usando polinômios. Para resolver isso, vamos usar a expansão binomial, que nos ajuda a desenvolver potências de binômios em séries.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação da expansão binomial. A função é $ (x + 2)^{-3} $, que podemos escrever como $ 2^{-3} \left(1 + \frac{x}{2}\right)^{-3} $. Isso é útil porque a expansão binomial funciona bem com expressões da forma $ (1 + u)^n $.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula da expansão binomial para expoentes negativos:
(1 + u)^n = sumk=0^infty binomnk u^k
onde $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, dado por:
binomnk
No nosso caso, $ n = -3 $ e $ u = \frac{x}{2} $.

Passo 4

Vamos calcular os primeiros termos da série para termos uma ideia de como fica. Substituindo $ n = -3 $ e $ u = \frac{x}{2} $ na fórmula, temos:
n = -3
Calculando os coeficientes binomiais:
u = x2

Passo 5

Substituindo os coeficientes de volta na série, ficamos com:
(1 + x2)^-3 = sumk=0^infty (-1)^k (k + 2)(k + 1)2 (x2)^k
Multiplicando pela constante $ 2^{-3} = \frac{1}{8} $, temos a série de potência para a função original:
2^-3 = 18

Resposta

A série de potência da função $ f(x) = (x + 2)^{-3} $ é:
f(x) = (x + 2)^-3

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