Considere a função . Sobre seus pontos críticos, podemos afirmar.
Escolha uma opção:
a. É o valor de x para o qual f^prime(x)=0, a saber, x=0; e os valorés de x para os quais f^prime(x) não existe: x= pm 1.
b. São os três valores de x para os quais f^prime(x)=0, a saber, x=0 e x= pm 1.
c. São os três valores de x para os quais f^prime(x) não existe, a saber, x=0 e x= pm 1.
d. É dado por x=0.
e. São dois x=-1 e x=1.
Passo 1
A questão pede para encontrar os pontos críticos de f(x)=|x²−1|, ou seja, os x onde f′(x)=0 ou f′ não existe. Isso envolve conteúdo de derivada de função valor absoluto e análise de pontos de não diferenciabilidade.
Passo 2
Para lidar com o valor absoluto, escrevemos f(x) de forma piecewise:
f(x)= x^2-1,&|x|>=1, 1-x^2,&|x|<1
Essa reescrita nos permite derivar em cada região.
Passo 3
Derivamos em cada intervalo (lembrando que não podemos derivar na fronteira |x|=1 sem mexer nos lados):
f'(x)= 2x,&|x|>1, -2x,&|x|<1
Agora achamos onde f′(x)=0 e onde f′ não existe:
– Em |x|<1, f′(x)=−2x=0 ⇒ x=0 (está dentro de (−1,1)).
– Em |x|>1, f′(x)=2x nunca zera para |x|>1.
– Nas fronteiras x=±1, as derivadas laterais são diferentes (−2 e +2), então f′ não existe em x=±1.
Passo 4
Portanto os pontos críticos são exatamente x=0 (onde f′=0) e x=±1 (onde f′ não existe). Isso corresponde à opção a.