Represente sobre a reta real cada um dos seguintes conjuntos:
C=\{x \in \mathbb{R} ; x \leq 0 ou x>1\}

Passo 1

O enunciado pede que eu represente sobre a reta real o conjunto C=\{x\in\mathbb{R}\;;\;x\leq0\\ \text{ou}\\ x>1\}.
Informações dadas:
  • Todos os x reais tais que x\leq0 pertencem a C.
  • Todos os x reais tais que x>1 pertencem a C.
    O que se quer: uma representação gráfica sobre a reta real (e também podemos dar a notação em intervalos).

Passo 2

O que significa representar um conjunto na reta real e quais notações usamos (uma mini-aula rápida e prática).
  • A reta real é uma linha onde cada ponto corresponde a um número real.
  • Para indicar que todos os números menores que um certo valor a pertencem ao conjunto usamos o intervalo (-\infty,a) (se a não está incluído) ou (-\infty,a] (se a está incluído). Aqui (-\infty,a) significa "desde menos infinito até a, sem incluir a" e (-\infty,a] significa "desde menos infinito até a, incluindo a".
  • Para indicar todos os números maiores que b usamos (b,\infty) (se b não está incluído) ou [b,\infty) (se b está incluído).
  • Para juntar duas partes da reta que pertencem ao conjunto usamos a união, escrita com o símbolo \cup. Por exemplo, (-\infty,0]\cup(1,\infty) significa "tudo à esquerda de 0 incluindo 0, junto com tudo à direita de 1, sem incluir 1".
Explicando os símbolos de inclusão/exclusão de forma simples:
  • Um colchete \bigl] ou [\bigr (escrito como [\,\cdot\,] em notação) indica que o ponto está incluído (ponto fechado, costuma desenhar-se um ponto cheio).
  • Um parêntese (\,\cdot\,) indica que o ponto não está incluído (ponto aberto, costuma desenhar-se um círculo vazio).

Passo 3

Traduzindo cada parte do conjunto C para notação de intervalo:
  • A condição x\leq0 corresponde ao intervalo (-\infty,0]. Expliquei: vai até 0 e inclui 0, por isso o colchete em 0.
  • A condição x>1 corresponde ao intervalo (1,\infty). Expliquei: começa imediatamente à direita de 1 e vai até o infinito; como 1 não pertence (é estrito), usamos parêntese em 1.

Passo 4

Juntando as duas partes com união obtemos a descrição completa:
C = (-\infty,0]\cup(1,\infty).
Como representar graficamente na reta real (passo a passo para desenhar na prova):
  1. Desenhe uma reta horizontal e marque dois pontos: 0 e 1.
  2. Em 0 desenhe um ponto preenchido (outra forma: uma bolinha preta) para indicar que 0 está incluído.
  3. Em 1 desenhe um círculo vazio para indicar que 1 não está incluído.
  4. Pinte (ou sombreie) toda a reta para a esquerda de 0 até o infinito, incluindo o ponto 0.
  5. Pinte (ou sombreie) toda a reta para a direita de 1 até o infinito, começando após 1 (não pintar o círculo vazio).
Exemplos rápidos para checar entendimento:
  • -2\in C (sim, porque -2\leq0).
  • 0\in C (sim, porque 0\leq0).
  • 0{,}5\notin C (não, porque não é \leq0 nem >1).
  • 1\notin C (não, porque a condição é x>1, estrita).
  • 2\in C (sim, porque 2>1).
Força aí — desenhar esse tipo de conjunto é sempre rápido: marca os pontos, decide se são abertos/fechados e sombreia as retas até o infinito.

Resposta

(-\infty,0]\cup(1,\infty)

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