Encontre a solução do problema de valor inicial a seguir utilizando a Transformada de Laplace:
y^prime prime+y=upi / 2(t)+3 de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando a Transformada de Laplace. A equação que precisamos solucionar é:
y'' + y = upi/2(t) + 3 de
Com as condições iniciais e . Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares e vamos utilizar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver esse tipo de problema, especialmente quando temos funções como unidades de Heaviside e delta de Dirac .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma derivada fica:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Como Ly'' = s^2 Y(s) e Ly = Y(s) , isso simplifica para:
s^2 Y(s) + Y(s) = Lupi/2(t) + 3 Lde
E sabemos que:
Então, a equação transformada fica:

Passo 3

Vamos calcular cada Transformada de Laplace no lado direito:
  1. Unidade de Heaviside Lua(t) = e^-a ss :
A Transformada de Laplace é:
Lupi/2(t) = e^-pi2 ss
Portanto:
Lu2pi(t) = e^-2 pi ss
Lde
  1. Delta de Dirac Lde:
A Transformada de Laplace é:
Portanto:

Passo 4

Substituindo essas transformadas na equação:
s^2 Y(s) + Y(s) = e^-pi2 ss + 3 e^-3 pi2 s - e^-2 pi ss
Fatorando Y(s)(s^2 + 1) = e^-pi2 s - e^-2 pi ss + 3 e^-3 pi2 s :

Passo 5

Isolando Y(s) = 1s^2 + 1 ( e^-pi2 s - e^-2 pi ss + 3 e^-3 pi2 s ) :
Y(s) = e^-pi2 ss(s^2 + 1) - e^-2 pi ss(s^2 + 1) + 3 e^-3 pi2 ss^2 + 1
Podemos separar os termos:

Passo 6

Agora, precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace para encontrar L^-1 e^-pi2 ss(s^2 + 1) . Vamos tratar cada termo separadamente.
  1. Primeiro Termo:
L^-1 e^-2 pi ss(s^2 + 1)
Isso corresponde a uma função escalonada iniciando em L^-1 3 e^-3 pi2 ss^2 + 1 e a convolução das transformadas inversas dos fatores.
  1. Segundo Termo:
Similar ao primeiro, mas iniciando em .
  1. Terceiro Termo:
Esse termo é uma função seno iniciando em .

Passo 7

Aplicando a Transformada Inversa considerando a propriedade de deslocamento no tempo:
  1. Primeiro Termo:
upi2(t) cdot L^-1 1s(s^2 + 1)
Sabemos que:
L^-1 1s(s^2 + 1) = 1 - cos(t)
Então:
upi2(t) cdot (1 - cos(t - pi2))
  1. Segundo Termo:
- u2pi(t) cdot (1 - cos(t - 2pi))
  1. Terceiro Termo:
3 u3pi2(t) cdot sin(t - 3pi2)

Passo 8

Simplificando as expressões trigonométricas:
  1. (porque é periódica de período )
Então, substituindo:

Passo 9

Finalmente, juntando todos os termos, temos a solução da equação diferencial:
y(t) = upi2(t) cdot (1 - sin(t)) - u2pi(t) cdot (1 - cos(t)) + 3 u3pi2(t) cdot cos(t)

Resposta

A solução da equação diferencial é
y(t) = upi2(t) (1 - sin(t)) - u2pi(t) (1 - cos(t)) + 3, u3pi2(t) cdot cos(t)

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