Encontre a solução do problema de valor inicial a seguir utilizando a Transformada de Laplace:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando a Transformada de Laplace. A equação que precisamos solucionar é:
Com as condições iniciais
e
. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares e vamos utilizar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver esse tipo de problema, especialmente quando temos funções como unidades de Heaviside
e delta de Dirac
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma derivada fica:
Como
e
, isso simplifica para:
E sabemos que:
Então, a equação transformada fica:
Passo 3
Vamos calcular cada Transformada de Laplace no lado direito:
- Unidade de Heaviside
:
A Transformada de Laplace é:
Portanto:
- Delta de Dirac
:
A Transformada de Laplace é:
Portanto:
Passo 4
Substituindo essas transformadas na equação:
Fatorando
:
Passo 5
Isolando
:
Podemos separar os termos:
Passo 6
Agora, precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace para encontrar
. Vamos tratar cada termo separadamente.
- Primeiro Termo:
Isso corresponde a uma função escalonada iniciando em
e a convolução das transformadas inversas dos fatores.
- Segundo Termo:
Similar ao primeiro, mas iniciando em
.
- Terceiro Termo:
Esse termo é uma função seno iniciando em
.
Passo 7
Aplicando a Transformada Inversa considerando a propriedade de deslocamento no tempo:
- Primeiro Termo:
Sabemos que:
Então:
- Segundo Termo:
- Terceiro Termo:
Passo 8
Simplificando as expressões trigonométricas:
-
-
(porque é periódica de período ) -
Então, substituindo:
Passo 9
Finalmente, juntando todos os termos, temos a solução da equação diferencial:
Resposta
A solução da equação diferencial é