Represente z=\sqrt{2}-i \sqrt{2} no plano de Argand-Gauss e calcule (\sqrt{2}-i \sqrt{2})^{6}.

Passo 1

O enunciado dá o número complexo \r
\;z=\sqrt{2}-\mathrm{i}\,\sqrt{2}\r
e pede duas coisas: (a) mostrar sua posição no plano de Argand–Gauss e (b) calcular \r
(\sqrt{2}-\mathrm{i}\,\sqrt{2})^{6}.\r
Para isso vamos usar a forma polar de um número complexo e o Teorema de De Moivre.

Passo 2

Primeiro, a representação no plano de Argand–Gauss é simplesmente o par ordenado de suas partes real e imaginária. Aqui \r
\Re(z)=\sqrt{2},\qquad \Im(z)=-\sqrt{2}.\r
Logo, no plano com eixo horizontal x e eixo vertical y, o ponto de coordenadas \r
\bigl(\sqrt{2},\,-\sqrt{2}\bigr)\r
é a representação de z.

Passo 3

Agora vamos à forma polar de z. Calculamos o módulo \r
\;r = |z| = \sqrt{(\sqrt{2})^{2} + (-\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{2 + 2} = 2\r
e o argumento \theta satisfaz \r
\tan(\theta) = \frac{\Im(z)}{\Re(z)} = \frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = -1.\r
Como \Re(z)>0 e \Im(z)<0, estamos no quarto quadrante, de modo que \r
\theta = -\frac{\pi}{4}.\r
Portanto \r
\;z = 2\bigl(\cos(-\tfrac{\pi}{4}) + \mathrm{i}\,\sin(-\tfrac{\pi}{4})\bigr).

Passo 4

Para elevarmos z à sexta potência, usamos o Teorema de De Moivre, que afirma \r
\bigl[r\bigl(\cos\theta + \mathrm{i}\,\sin\theta\bigr)\bigr]^{n}\r = r^{n}\bigl(\cos(n\theta) + \mathrm{i}\,\sin(n\theta)\bigr).\r
Aqui r=2, \theta=-\tfrac{\pi}{4} e n=6. Logo \r
\;z^{6} = 2^{6}\Bigl(\cos\bigl(6\cdot(-\tfrac{\pi}{4})\bigr)\r + \mathrm{i}\,\sin\bigl(6\cdot(-\tfrac{\pi}{4})\bigr)\Bigr).

Passo 5

Calculamos as partes trigonométricas: \r
\;6\cdot\Bigl(-\frac{\pi}{4}\Bigr) = -\frac{6\pi}{4} = -\frac{3\pi}{2}.\r
E sabemos que \r
\cos\bigl(-\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=0,\qquad \sin\bigl(-\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=+1.\r
Portanto \r
\;z^{6} = 2^{6}\bigl(0 + \mathrm{i}\cdot1\bigr) = 64\,\mathrm{i}.

Resposta

A representação de z no plano de Argand–Gauss é o ponto \bigl(\sqrt{2},-\sqrt{2}\bigr) (no quarto quadrante, raio 2 e ângulo -\tfrac{\pi}{4}).
(\sqrt{2}-\mathrm{i}\sqrt{2})^{6} = 64\,\mathrm{i}.

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