numero de bacténas N em um meio de cultura com crescimento exponencial pode ser determinado por N=N_0 e^{kt}, onde N_{0}=N(0) e k é a constante de proporcionalidade. Se inicialmente haviam 5000 bactérias na cultura e 8000 bactérias 10 minutos após, quanto tempo será necessário para que o número de bactérias N torne duas vezes maior que o inicial?
Dados: \ln 2=0,69
\ln 5=1,61

Passo 1

O enunciado descreve um crescimento exponencial de bactérias segundo
N = N_0 e^{k t},
onde N_0 = N(0) e k é a constante de proporcionalidade. Sabemos que N_0 = 5000 e que N(10)=8000. Precisamos (1) determinar k usando esses dados e depois (2) achar o tempo t tal que N(t)=2N_0.

Passo 2

Para achar k, usamos
8000 = 5000\,e^{10k} \quad\Longrightarrow\quad e^{10k} = \frac{8000}{5000} = \frac{8}{5}.
Tomando logaritmo natural,
10k = \ln\!\Bigl(\tfrac{8}{5}\Bigr) = \ln(8) - \ln(5) = 3\ln2 - \ln5 = 3\cdot0,69 - 1,61 = 2,07 - 1,61 = 0,46
Logo
k = \frac{0,46}{10} = 0,046.

Passo 3

Queremos N(t)=2N_0, isto é
2N_0 = N_0 e^{k t} \quad\Longrightarrow\quad e^{k t} = 2 \quad\Longrightarrow\quad k t = \ln2 = 0,69 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{0,69}{0,046} = 15.

Resposta

São necessários 15 minutos.

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