Marquem na circunferência trigonométrica as extremidades dos arcos de medidas dadas a seguir, e em seguida, dê os valores do seno, cosseno e tangente de cada um deles:
x=\frac{\pi}{4};

Passo 1

O enunciado pede para marcar na circunferência trigonométrica o ponto correspondente ao ângulo
x = \frac{\pi}{4}
e depois calcular \operatorname{sen}\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr), \cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) e \operatorname{tg}\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr). Para isso usaremos que, na circunferência de raio 1, o ponto terminal de um ângulo \theta tem coordenadas (\cos\theta,\;\operatorname{sen}\theta) e que
\operatorname{tg}\theta = \frac{\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta}.

Passo 2

Para \theta = \tfrac{\pi}{4} ( 45\circ), estamos no primeiro quadrante e o ponto terminal satisfaz
x = y \quad\text{e}\quad x^{2} + y^{2} = 1.
Substituindo y = x em x^{2}+y^{2}=1
2x^{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} = \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{\sqrt{2}}{2}.
Portanto o ponto marcado na circunferência é
\Bigl(\cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr),\,\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)\Bigr) = \Bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2},\,\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr).

Passo 3

Usando as coordenadas do passo anterior:
\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \operatorname{tg}\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) = \frac{\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)}{\cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)} = \frac{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}{\tfrac{\sqrt{2}}{2}} = 1.

Resposta

\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\tfrac{\sqrt{2}}{2} \cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\tfrac{\sqrt{2}}{2} \operatorname{tg}\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=1

Exercícios relacionados