Quais os requisitos para que duas funções sejam consideradas iguais?

Passo 1

O enunciado pergunta sobre quando dizemos que duas funções são iguais. O conteúdo envolve definição de função em termos de domínio, contradomínio e lei de associação. Para responder, vamos lembrar que uma função é um tríplice (D, C, \varphi), onde \varphi associa cada elemento de D a um único em C.

Passo 2

Duas funções
f: D_f \to C_f \quad\text{e}\quad g: D_g \to C_g
são iguais se tiverem o mesmo domínio e o mesmo contradomínio, ou seja,
D_f = D_g \quad\text{e}\quad C_f = C_g.

Passo 3

Além de domínio e contradomínio coincidentes, é preciso que a lei de associação seja idêntica em todo ponto. Formalmente, para todo x\in D_f devemos ter
f(x) = g(x).

Passo 4

Recapitulando, reunimos os três requisitos simultâneos:
  1. D_f = D_g.
  2. C_f = C_g.
  3. \forall x\in D_f:\;f(x)=g(x).

Resposta

Duas funções f e g são iguais se, e somente se,
D_f = D_g,\quad C_f = C_g \quad\text{e}\quad \forall x\in D_f:\;f(x)=g(x).

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