Determine se as expressões a seguir definem
. Em caso de resposta negativa, justifique.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
f)
f)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
f)
f)
Passo 1
O enunciado pede para cada uma das desigualdades/igualdades abaixo verificar se ela define uma função
. Isso exige que, para cada
em algum domínio, exista exatamente um valor de
. A estratégia é:
- Tentar isolar
em termos de . - Verificar se a solução existe e é única (ou se há valores de
sem solução ou com várias soluções). - Opcionalmente, usar o teste da reta vertical: se uma reta vertical intercepta o gráfico em mais de um ponto, não é função.
Passo 2
(a)
.
Aqui já está isolado e vale sempre
, independente de
. Para cada
há exatamente um
.
Logo, define , com
e domínio
.
Aqui
Logo, define
Passo 3
(b)
.
Também já está isolado. A única restrição é , pois não podemos dividir por zero.
Para cada existe um único
.
Logo, define em domínio
.
Também já está isolado. A única restrição é
Para cada
Logo, define
Passo 4
(c)
.
Isto é uma reta vertical no plano. Para qualquer
serve, ou seja, há infinitos pontos
.
Logo, não define como função de
, pois para
não há valor único de
.
Isto é uma reta vertical no plano. Para
Logo, não define
Passo 5
(d)
.
É a circunferência de raio 3. Para um mesmo há dois valores de
, um positivo e outro negativo:
É a circunferência de raio 3. Para um mesmo
Portanto, não define uma única
para cada
.
Passo 6
(e)
.
Passo 1: levar todos os termos com para o mesmo lado:
Passo 1: levar todos os termos com
Passo 2: isolar
:
contanto que
, isto é,
. Para
não há solução, e fora disso existe exatamente um
.
Logo, define em domínio
.
Logo, define
Passo 7
(f)
.
Isolando :
Isolando
A raiz cúbica de um real é única. Não há restrições de domínio.
Logo, define para todo
.
Logo, define
Passo 8
(g)
.
Colocando em evidência:
Colocando
desde que
. Quando
a equação original seria
, impossível.
Logo, define em domínio
.
Logo, define
Passo 9
(h)
.
Multiplicamos ambos os lados por (com
):
Multiplicamos ambos os lados por
Para
temos
duas soluções; para
não há solução real; para
também não.
Como para saem dois valores de
, não define
de forma única como função de
.
Como para
Resposta
(a) Sim,
, domínio
.
(b) Sim, , domínio
.
(c) Não — reta vertical, não há valor único de para
.
(d) Não — circunferência, dois valores de para cada
.
(e) Sim, , domínio
.
(f) Sim, , domínio
.
(g) Sim, , domínio
.
(h) Não — dá , dois valores para
.
(b) Sim,
(c) Não — reta vertical, não há valor único de
(d) Não — circunferência, dois valores de
(e) Sim,
(f) Sim,
(g) Sim,
(h) Não — dá