Determine se as expressões a seguir definem y=f(x). Em caso de resposta negativa, justifique.
a) y=5
b) y=-\frac{2}{x}+1
c) x=-3
d) x^{2}+y^{2}=9
e) y=4 x y+3
f) 3 y^{3}-2 x^{2}+5 x=0
f) x+2 x y=5
f) x y-\frac{1}{y}=0

Passo 1

O enunciado pede para cada uma das desigualdades/igualdades abaixo verificar se ela define uma função y=f(x). Isso exige que, para cada x em algum domínio, exista exatamente um valor de y. A estratégia é:
  1. Tentar isolar y em termos de x.
  2. Verificar se a solução existe e é única (ou se há valores de x sem solução ou com várias soluções).
  3. Opcionalmente, usar o teste da reta vertical: se uma reta vertical intercepta o gráfico em mais de um ponto, não é função.

Passo 2

(a) y=5.
Aqui y já está isolado e vale sempre 5, independente de x. Para cada x\in\mathbb{R} há exatamente um y.
Logo, define y=f(x), com f(x)=5 e domínio \mathbb{R}.

Passo 3

(b) y=-\frac{2}{x}+1.
Também já está isolado. A única restrição é x\neq0, pois não podemos dividir por zero.
Para cada x\neq0 existe um único y.
Logo, define y=f(x) em domínio \mathbb{R}\setminus\{0\}.

Passo 4

(c) x=-3.
Isto é uma reta vertical no plano. Para x=-3 qualquer y serve, ou seja, há infinitos pontos (-3,y).
Logo, não define y como função de x, pois para x=-3 não há valor único de y.

Passo 5

(d) x^{2}+y^{2}=9.
É a circunferência de raio 3. Para um mesmo x\in(-3,3) há dois valores de y, um positivo e outro negativo:
y=\pm\sqrt{9-x^{2}}.
Portanto, não define uma única y para cada x.

Passo 6

(e) y=4xy+3.
Passo 1: levar todos os termos com y para o mesmo lado:
y-4xy=3 \quad\Longrightarrow\quad y(1-4x)=3.
Passo 2: isolar y:
y=\frac{3}{1-4x},
contanto que 1-4x\neq0, isto é, x\neq\frac14. Para x=\tfrac14 não há solução, e fora disso existe exatamente um y.
Logo, define y=f(x) em domínio \mathbb{R}\setminus\{\tfrac14\}.

Passo 7

(f) 3y^{3}-2x^{2}+5x=0.
Isolando y^{3}:
3y^{3}=2x^{2}-5x \quad\Longrightarrow\quad y^{3}=\frac{2x^{2}-5x}{3} \quad\Longrightarrow\quad y=\sqrt[\,3]{\frac{2x^{2}-5x}{3}}.
A raiz cúbica de um real é única. Não há restrições de domínio.
Logo, define y=f(x) para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 8

(g) x+2xy=5.
Colocando y em evidência:
x(1+2y)=5 \quad\Longrightarrow\quad 1+2y=\frac{5}{x} \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{\tfrac{5}{x}-1}{2}=\frac{5-x}{2x},
desde que x\neq0. Quando x=0 a equação original seria 0=5, impossível.
Logo, define y=f(x) em domínio \mathbb{R}\setminus\{0\}.

Passo 9

(h) xy-\frac{1}{y}=0.
Multiplicamos ambos os lados por y (com y\neq0):
xy^{2}-1=0 \quad\Longrightarrow\quad y^{2}=\frac{1}{x}.
Para x>0 temos
y=\pm\frac{1}{\sqrt{x}},
duas soluções; para x<0 não há solução real; para x=0 também não.
Como para x>0 saem dois valores de y, não define y de forma única como função de x.

Resposta

(a) Sim, y=5, domínio \mathbb{R}.
(b) Sim, y=-\frac{2}{x}+1, domínio \mathbb{R}\setminus\{0\}.
(c) Não — reta vertical, não há valor único de y para x=-3.
(d) Não — circunferência, dois valores de y para cada x\in(-3,3).
(e) Sim, y=\frac{3}{1-4x}, domínio \mathbb{R}\setminus\{\tfrac14\}.
(f) Sim, y=\sqrt[\,3]{\frac{2x^{2}-5x}{3}}, domínio \mathbb{R}.
(g) Sim, y=\frac{5-x}{2x}, domínio \mathbb{R}\setminus\{0\}.
(h) Não — dá y=\pm1/\sqrt{x}, dois valores para x>0.

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