Verifique, algebricamente, se as funções a seguir são pares ou ímpares ou não tem paridade definida.
a) f(x)=2 x^{4}-8
b) f(x)=-5 x^{3}
c) f(x)=2 x^{3}-3 x
d) f(x)=\frac{3}{1+x^{2}}
e) f(x)=\frac{1}{x}
f) f(x)=7 x^{3}-5 x^{2}
g) f(x)=\frac{x^{2}}{1-x^{2}}
h) f(x)=\frac{3+x^{3}}{4-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a paridade (par, ímpar ou não definida) de oito funções. Para isso, vamos usar a definição algébrica de paridade:
f é par se, para todo x no domínio,
f(-x)=f(x).
f é ímpar se, para todo x no domínio,
f(-x)=-\,f(x).
Caso nenhuma das duas condições valha, dizemos que não tem paridade definida. Em cada passo calcularemos f(-x) e compararemos com f(x) e com -f(x).

Passo 2

Para f(x)=2x^{4}-8, calculemos
f(-x)=2(-x)^{4}-8=2x^{4}-8=f(x).
Como f(-x)=f(x), essa função é par.

Passo 3

Para f(x)=-5x^{3}, temos
f(-x)=-5(-x)^{3}=5x^{3}=-\bigl(-5x^{3}\bigr)=-f(x).
Como f(-x)=-f(x), essa função é ímpar.

Passo 4

Para f(x)=2x^{3}-3x,
f(-x)=2(-x)^{3}-3(-x)=-2x^{3}+3x=-\bigl(2x^{3}-3x\bigr)=-f(x).
Logo, f é ímpar.

Passo 5

Para f(x)=\dfrac{3}{1+x^{2}},
f(-x)=\frac{3}{1+(-x)^{2}}=\frac{3}{1+x^{2}}=f(x).
Portanto, f é par.

Passo 6

Para f(x)=\dfrac{1}{x},
f(-x)=\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}=-f(x).
Assim, f é ímpar.

Passo 7

Para f(x)=7x^{3}-5x^{2},
f(-x)=7(-x)^{3}-5(-x)^{2}=-7x^{3}-5x^{2}.
Comparando com f(x)=7x^{3}-5x^{2} e -f(x)=-7x^{3}+5x^{2}, vemos que
f(-x)\neq f(x) \quad\text{e}\quad f(-x)\neq -f(x).
Logo, não há paridade definida.

Passo 8

Para f(x)=\dfrac{x^{2}}{1-x^{2}},
f(-x)=\frac{(-x)^{2}}{1-(-x)^{2}}=\frac{x^{2}}{1-x^{2}}=f(x).
Portanto, f é par.

Passo 9

Para f(x)=\dfrac{3+x^{3}}{4-x^{2}},
f(-x)=\frac{3+(-x)^{3}}{4-(-x)^{2}}=\frac{3-x^{3}}{4-x^{2}}.
Nem f(-x)=f(x) nem f(-x)=-f(x) se realizam, pois
f(x)=\frac{3+x^{3}}{4-x^{2}}, \quad -f(x)=\frac{-3-x^{3}}{4-x^{2}},
diferentes de f(-x). Logo, não tem paridade definida.

Resposta

a) par
b) ímpar
c) ímpar
d) par
e) ímpar
f) sem paridade definida
g) par
h) sem paridade definida

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