Exercício 20 (D.L. 4.9)
Seja f: R^n R^n um campo tal que lang<= x, f(x)rang<==0, para todo x in R. Mostre que toda solução máxima x: I R^n de x^prime=f(x) está definida para todo t in R. Ou seja, mostre que o intervalo máximo de toda solução máxima é igual a R.
Observação: lang<= x, yrang<=:=x1 y1+x2 y2+ldots+xn yn.

Passo 1

O enunciado trata do problema de valor inicial
x' = f(x), x(t0)=x0,
onde f:R^ntoR^n é contínua (e localmente Lipschitz) e satisfaz
lang<= x,f(x)rang<==0para todo xinR^n
Queremos mostrar que a solução máxima x:ItoR^n tem intervalo I=R. Para isso vamos usar (i) a propriedade lang<= x,f(x)rang<==0 para provar que |x(t)| é constante e (ii) o teorema de prolongamento de soluções de EDO, segundo o qual, enquanto a solução permanecer num conjunto compacto onde f é Lipschitz, ela pode ser estendida indefinidamente.

Passo 2

Defina o escalar
varphi(t)=|x(t)|^2=lang<= x(t),x(t)rang<=
Como x'(t)=f(x(t)), pela regra da cadeia temos
varphi'(t) =2,lang<= x(t),x'(t)rang<= =2,lang<= x(t),f(x(t))rang<= =0
Logo, varphi(t) é constante em I.

Passo 3

Da constância de varphi segue que
|x(t)|^2=varphi(t)=varphi(t0)=|x0|^2 forall tin I,
ou seja, x(t) permanece na esfera de centro 0 e raio rho=|x0|. Essa esfera é um subconjunto compacto de R^n, e como f é contínua em R^n, ele é Lipschitz numa vizinhança dessa esfera.

Passo 4

Suponha, por absurdo, que o intervalo máximo seja I=(alpha,beta) com beta<+infty. Como x(t) está contido no compacto B(0,rho), existe limttobeta^-x(t)=x^*inB(0,rho). Então podemos resolver o PVI com condição inicial x(beta)=x^* e estender a solução além de beta, o que contradiz a maximalidade de I. Logo beta=+infty. De modo análogo mostra-se alpha=-infty.

Resposta

O intervalo máximo de definição de toda solução máxima é
I=R

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