Exercício 20 (D.L. 4.9)
Seja um campo tal que , para todo . Mostre que toda solução máxima de está definida para todo . Ou seja, mostre que o intervalo máximo de toda solução máxima é igual a .
Observação: .
Passo 1
O enunciado trata do problema de valor inicial
onde é contínua (e localmente Lipschitz) e satisfaz
Queremos mostrar que a solução máxima tem intervalo . Para isso vamos usar (i) a propriedade para provar que é constante e (ii) o teorema de prolongamento de soluções de EDO, segundo o qual, enquanto a solução permanecer num conjunto compacto onde é Lipschitz, ela pode ser estendida indefinidamente.
Passo 2
Defina o escalar
Como , pela regra da cadeia temos
Logo, é constante em .
Passo 3
Da constância de segue que
ou seja, permanece na esfera de centro e raio . Essa esfera é um subconjunto compacto de , e como é contínua em , ele é Lipschitz numa vizinhança dessa esfera.
Passo 4
Suponha, por absurdo, que o intervalo máximo seja com . Como está contido no compacto , existe limttobeta^-x(t)=x^*inB(0,rho). Então podemos resolver o PVI com condição inicial x(beta)=x^* e estender a solução além de beta, o que contradiz a maximalidade de I. Logo beta=+infty. De modo análogo mostra-se alpha=-infty.
Resposta
O intervalo máximo de definição de toda solução máxima é