Rescrever as equações diferenciais (ou sistemas) como um sistema de equações diferenciais de primeira ordem na forma matricial. Calcule uma matriz fundamental para o sistema. Dê a solução geral do sistema. Dê a solução geral da equação dada.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de terceira ordem que você me passou: . O que a gente precisa fazer aqui é transformar essa equação em um sistema de equações de primeira ordem usando matrizes. Depois, vamos calcular uma matriz fundamental para esse sistema e, por fim, encontrar a solução geral da equação. Para isso, vamos precisar entender como converter equações de ordem superior em sistemas de primeira ordem e usar conceitos de álgebra linear, como matrizes e autovalores.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar nossa equação de terceira ordem em um sistema de três equações de primeira ordem. Para facilitar, vamos definir novas variáveis que representam as derivadas de $ y $:
Com essas definições, podemos reescrever as derivadas:
Agora, vamos substituir $ \dddot{y} $ da equação original:
Então, nosso sistema de equações de primeira ordem fica assim:
Passo 3
Agora que temos o sistema de primeira ordem, vamos colocá-lo na forma matricial. Isso significa organizar as equações em uma matriz que multiplica o vetor de incógnitas. Nosso sistema pode ser escrito como:
Para encontrar a matriz fundamental e a solução geral, precisamos primeiro encontrar os autovalores dessa matriz $ A $. Os autovalores são as soluções da equação característica:
Legal, $ \lambda = -1 $ é uma raiz. Agora, podemos fatorar a equação:
lambda = -1
Resolvendo a equação quadrática $ \lambda^2 - 4\lambda - 2 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
(-1)^3 - 3(-1)^2 - 6(-1) - 2 = -1 - 3 + 6 - 2 = 0
Então, os autovalores são:
lambda = -1
Passo 6
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes para construir a matriz fundamental. Para cada $ \lambda $, resolvemos $ (A - \lambda I) \mathbf{v} = 0 $.
Vamos começar com $ \lambda_1 = -1 $:
lambda
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: $ x_2 + x_3 = 0 $ → $ x_3 = -x_2 $
Da primeira equação: $ x_1 + x_2 = 0 $ → $ x_1 = -x_2 $
Então, o autovetor correspondente é proporcional a:
(A - lambda I) v = 0
Agora, para $ \lambda_2 = 2 + \sqrt{6} $:
$$
A - \lambda_2 I = lambda1 = -1
A - (-1)I = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 2 & 6 & 4
$$
Resolvendo o sistema, encontramos:
x2 + x3 = 0
x3 = -x2
Então, o autovetor correspondente é proporcional a:
x1 + x2 = 0
De forma semelhante, para $ \lambda_3 = 2 - \sqrt{6} $, o autovetor é:
x1 = -x2
Passo 7
Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos montar a matriz fundamental $ \Phi(t) $. Cada coluna de $ \Phi(t) $ é um autovetor multiplicado pelo exponencial do seu respectivo autovalor:
Phi(t)
Substituindo os valores:
Phi(t)
Passo 8
Finalmente, a solução geral do sistema é dada por uma combinação linear das colunas da matriz fundamental. Ou seja:
x(t) = c1 v1 e^lambda1 t + c2 v2 e^lambda2 t + c3 v3 e^lambda3 t
Onde $ c_1, c_2, c_3 $ são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Como $ y = x_1 $, a solução geral da equação diferencial original é:
c1, c2, c3
Resposta
A solução geral da equação dada é:
y(t) = c1 e^-t + c2 e^(2 + raiz6) t + c3 e^(2 - raiz6) t
Onde $ c_1, c_2, c_3 $ são constantes arbitrárias.