Rescrever as equações diferenciais (ou sistemas) como um sistema de equações diferenciais de primeira ordem na forma matricial. Calcule uma matriz fundamental para o sistema. Dê a solução geral do sistema. Dê a solução geral da equação dada.
a) dddoty-3 ddoty-6 doty-2 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de terceira ordem que você me passou: dddoty - 3 ddoty - 6 doty - 2 y = 0. O que a gente precisa fazer aqui é transformar essa equação em um sistema de equações de primeira ordem usando matrizes. Depois, vamos calcular uma matriz fundamental para esse sistema e, por fim, encontrar a solução geral da equação. Para isso, vamos precisar entender como converter equações de ordem superior em sistemas de primeira ordem e usar conceitos de álgebra linear, como matrizes e autovalores.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar nossa equação de terceira ordem em um sistema de três equações de primeira ordem. Para facilitar, vamos definir novas variáveis que representam as derivadas de $ y $:
y
x1 = y
x2 = doty
Com essas definições, podemos reescrever as derivadas:
x3 = ddoty
dotx1 = doty = x2
dotx2 = ddoty = x3
Agora, vamos substituir $ \dddot{y} $ da equação original:
dotx3 = dddoty
dddoty
Então, nosso sistema de equações de primeira ordem fica assim:
dddoty = 3 ddoty + 6 doty + 2 y

Passo 3

Agora que temos o sistema de primeira ordem, vamos colocá-lo na forma matricial. Isso significa organizar as equações em uma matriz que multiplica o vetor de incógnitas. Nosso sistema pode ser escrito como:

$$
\frac{d}{dt}
ddt x1 x2 x3 = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 2 & 6 & 3 x1 x2 x3

A = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 2 & 6 & 3
$$
Aqui, a matriz dos coeficientes é:

Passo 4

Para encontrar a matriz fundamental e a solução geral, precisamos primeiro encontrar os autovalores dessa matriz $ A $. Os autovalores são as soluções da equação característica:
A
Calculando o determinante:
det(A - lambda I) = 0
det -lambda & 1 & 0 0 & -lambda & 1 2 & 6 & 3 - lambda = -lambda cdot det -lambda & 1 6 & 3 - lambda - 1 cdot det 0 & 1 2 & 3 - lambda
= -lambda [(-lambda)(3 - lambda) - 6 cdot 1] - [0 cdot (3 - lambda) - 2 cdot 1]
= -lambda [ -3lambda + lambda^2 - 6 ] - [ -2 ]
= -lambda (lambda^2 - 3lambda - 6) + 2
Então, a equação característica é:
= -lambda^3 + 3lambda^2 + 6lambda + 2 = 0
-lambda^3 + 3lambda^2 + 6lambda + 2 = 0
Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação.

Passo 5

Tentando possíveis raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, testamos $ \lambda = 1 $:
lambda = 1
Agora, testamos $ \lambda = -1 $:
1^3 - 3(1)^2 - 6(1) - 2 = 1 - 3 - 6 - 2 = -10 neq 0
Legal, $ \lambda = -1 $ é uma raiz. Agora, podemos fatorar a equação:
lambda = -1
Resolvendo a equação quadrática $ \lambda^2 - 4\lambda - 2 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
(-1)^3 - 3(-1)^2 - 6(-1) - 2 = -1 - 3 + 6 - 2 = 0
Então, os autovalores são:
lambda = -1

Passo 6

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes para construir a matriz fundamental. Para cada $ \lambda $, resolvemos $ (A - \lambda I) \mathbf{v} = 0 $.
Vamos começar com $ \lambda_1 = -1 $:
lambda
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: $ x_2 + x_3 = 0 $ → $ x_3 = -x_2 $
Da primeira equação: $ x_1 + x_2 = 0 $ → $ x_1 = -x_2 $
Então, o autovetor correspondente é proporcional a:
(A - lambda I) v = 0
Agora, para $ \lambda_2 = 2 + \sqrt{6} $:

$$
A - \lambda_2 I =
lambda1 = -1

A - (-1)I = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 2 & 6 & 4
$$
Resolvendo o sistema, encontramos:
x2 + x3 = 0
x3 = -x2
Então, o autovetor correspondente é proporcional a:
x1 + x2 = 0
De forma semelhante, para $ \lambda_3 = 2 - \sqrt{6} $, o autovetor é:
x1 = -x2

Passo 7

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos montar a matriz fundamental $ \Phi(t) $. Cada coluna de $ \Phi(t) $ é um autovetor multiplicado pelo exponencial do seu respectivo autovalor:
Phi(t)
Substituindo os valores:
Phi(t)

Passo 8

Finalmente, a solução geral do sistema é dada por uma combinação linear das colunas da matriz fundamental. Ou seja:
x(t) = c1 v1 e^lambda1 t + c2 v2 e^lambda2 t + c3 v3 e^lambda3 t
Onde $ c_1, c_2, c_3 $ são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Como $ y = x_1 $, a solução geral da equação diferencial original é:
c1, c2, c3

Resposta

A solução geral da equação dada é:
y(t) = c1 e^-t + c2 e^(2 + raiz6) t + c3 e^(2 - raiz6) t
Onde $ c_1, c_2, c_3 $ são constantes arbitrárias.

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