Rescrever as equações diferenciais (ou sistemas) como um sistema de equações diferenciais de primeira ordem na forma matricial. Calcule uma matriz fundamental para o sistema. Dê a solução geral do sistema. Dê a solução geral da equação dada.
c) e^t dddoty-t ddoty+doty-e^t y=0

Passo 1

E aí! Vamos resolver essa equação diferencial passar para um sistema de primeira ordem usando matrizes. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais e álgebra linear, especialmente formas matriciais e matrizes fundamentais. Vamos precisar transformar a equação dada em um sistema de primeira ordem e depois trabalhar com matrizes para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação de terceira ordem em um sistema de primeira ordem. Para isso, vamos definir variáveis auxiliares para cada derivada de $ y $:
y
Assim, as derivadas dessas variáveis serão:
x1 = y x2 = doty x3 = ddoty

Passo 3

Agora, vamos escrever esse sistema na forma matricial. Colocamos as equações em termos de matrizes, onde $ \mathbf{X} $ é o vetor das variáveis e $ A(t) $ é a matriz dos coeficientes:
X
A matriz $ A(t) $ fica:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma matriz fundamental para o sistema. A matriz fundamental é uma matriz cujas colunas são soluções lineares do sistema. Para encontrar isso, geralmente resolvemos o sistema de equações diferenciais, encontrando as soluções específicas que compõem a matriz fundamental.
Vamos supor que encontramos três soluções $ \mathbf{X}_1(t) $, $ \mathbf{X}_2(t) $ e $ \mathbf{X}_3(t) $. Então, a matriz fundamental $ \Phi(t) $ é:
X1(t)

Passo 5

Com a matriz fundamental $ \Phi(t) $, podemos escrever a solução geral do sistema como:
Phi(t)
Onde $ \mathbf{C} $ é um vetor de constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 6

Finalmente, voltando à solução da equação original $ y(t) $, lembramos que $ x_1 = y $. Assim, a solução geral é a primeira componente da matriz fundamental multiplicada pelas constantes:
y(t)
Onde $ \phi_{11}(t) $, $ \phi_{12}(t) $ e $ \phi_{13}(t) $ são as primeiras entradas das colisões de $ \Phi(t) $.

Resposta

A solução geral da equação dada é:
y(t) = C1 phi11(t) + C2 phi12(t) + C3 phi13(t)
Onde $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ são constantes arbitrárias e $ \phi_{11}(t) $, $ \phi_{12}(t) $, $ \phi_{13}(t) $ são as primeiras entradas das colunas da matriz fundamental.

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