Rescrever as equações diferenciais (ou sistemas) como um sistema de equações diferenciais de primeira ordem na forma matricial. Calcule uma matriz fundamental para o sistema. Dê a solução geral do sistema. Dê a solução geral da equação dada.
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Passo 1
E aí! Vamos resolver essa equação diferencial passar para um sistema de primeira ordem usando matrizes. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais e álgebra linear, especialmente formas matriciais e matrizes fundamentais. Vamos precisar transformar a equação dada em um sistema de primeira ordem e depois trabalhar com matrizes para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a equação de terceira ordem em um sistema de primeira ordem. Para isso, vamos definir variáveis auxiliares para cada derivada de $ y $:
Assim, as derivadas dessas variáveis serão:
Passo 3
Agora, vamos escrever esse sistema na forma matricial. Colocamos as equações em termos de matrizes, onde $ \mathbf{X} $ é o vetor das variáveis e $ A(t) $ é a matriz dos coeficientes:
A matriz $ A(t) $ fica:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma matriz fundamental para o sistema. A matriz fundamental é uma matriz cujas colunas são soluções lineares do sistema. Para encontrar isso, geralmente resolvemos o sistema de equações diferenciais, encontrando as soluções específicas que compõem a matriz fundamental.
Vamos supor que encontramos três soluções $ \mathbf{X}_1(t) $, $ \mathbf{X}_2(t) $ e $ \mathbf{X}_3(t) $. Então, a matriz fundamental $ \Phi(t) $ é:
Passo 5
Com a matriz fundamental $ \Phi(t) $, podemos escrever a solução geral do sistema como:
Onde $ \mathbf{C} $ é um vetor de constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 6
Finalmente, voltando à solução da equação original $ y(t) $, lembramos que $ x_1 = y $. Assim, a solução geral é a primeira componente da matriz fundamental multiplicada pelas constantes:
Onde $ \phi_{11}(t) $, $ \phi_{12}(t) $ e $ \phi_{13}(t) $ são as primeiras entradas das colisões de $ \Phi(t) $.
Resposta
A solução geral da equação dada é:
Onde $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ são constantes arbitrárias e $ \phi_{11}(t) $, $ \phi_{12}(t) $, $ \phi_{13}(t) $ são as primeiras entradas das colunas da matriz fundamental.