Rescrever as equações diferenciais (ou sistemas) como um sistema de equações diferenciais de primeira ordem na forma matricial. Calcule uma matriz fundamental para o sistema. Dê a solução geral do sistema. Dê a solução geral da equação dada.
b) ddoty-2 y+y=t+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente pegar a equação diferencial de segunda ordem ddoty - y = t + 1 e reescrevê-la como um sistema de equações diferenciais de primeira ordem usando matrizes. Depois, vamos calcular uma matriz fundamental para esse sistema e encontrar a solução geral tanto do sistema quanto da equação original. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas de equações diferenciais e matrizes fundamentais.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação de segunda ordem em um sistema de primeira ordem. Para isso, a gente define variáveis auxiliares que representem a função e suas derivadas. Vamos definir:
y1 = y
y2 = doty
Com essas definições, podemos reescrever a equação original. Sabemos que:
ddoty = doty2
Substituindo na equação original:
doty2 - y = t + 1
Agora, temos duas equações de primeira ordem:
doty1 = y2
doty2 = y1 + t + 1

Passo 3

Agora, vamos escrever esse sistema na forma matricial. Para isso, organizamos as equações de forma que tenhamos uma matriz multiplicando o vetor de incógnitas igual a outra matriz (ou vetor, se houver termos independentes).
Nosso sistema é:
doty1 = y2 doty2 = y1 + t + 1
Podemos escrever isso em forma matricial como:

$$
doty1 doty2 = 0 & 1 1 & 0 y1 y2 + 0 t + 1

A = 0 & 1 1 & 0
0 t + 1
+
$$
Aqui, a matriz
representa os coeficientes das variáveis, e o vetor
é o termo independente.

Passo 4

Para encontrar a matriz fundamental do sistema, precisamos resolver a parte homogênea do sistema, ou seja, ignorar o termo independente. Então, nosso sistema homogêneo é:

$$
doty1 doty2 = 0 & 1 1 & 0 y1 y2

A
lambda
$$
A matriz fundamental é formada pelas soluções lineares independentes desse sistema. Para encontrá-la, vamos primeiro determinar os autovalores e autovetores da matriz det(A - lambda I) = 0 .
Calculamos os autovalores I resolvendo o determinante:
det -lambda & 1 1 & -lambda = lambda^2 - 1 = 0 Rightarrow lambda = 1 ou lambda = -1
Onde lambda = 1 é a matriz identidade. Então:
(A - I)v = 0
Para -1 & 1 1 & -1 v1 v2 = 0 , encontramos o autovetor associado resolvendo -v1 + v2 = 0 Rightarrow v1 = v2:
v^(1) = 1 1
Da primeira equação: lambda = -1. Podemos escolher 1 & 1 1 & 1 v1 v2 = 0 .
Para v1 + v2 = 0 Rightarrow v1 = -v2:
v^(2) = 1 -1
Da primeira equação: . Podemos escolher .

Passo 5

Agora que temos os autovalores e autovetores, podemos construir a matriz fundamental Phi(t). Cada coluna de Phi(t) é uma solução do sistema homogêneo. Como os autovalores são reais e distintos, as soluções são exponenciais multiplicadas pelos autovetores.
Então, as soluções são:
y^(1)(t) = e^lambda1 t v^(1) = e^t 1 1
y^(2)(t) = e^lambda2 t v^(2) = e^-t 1 -1
Portanto, a matriz fundamental é:
Phi(t) = e^t & e^-t e^t & -e^-t

Passo 6

Com a matriz fundamental, podemos escrever a solução geral do sistema homogêneo como uma combinação linear das colunas da matriz fundamental:
yh(t) = C1 y^(1)(t) + C2 y^(2)(t) = C1 e^t 1 1 + C2 e^-t 1 -1
Agora, para encontrar a solução geral do sistema completo (inhomogêneo), precisamos encontrar uma solução particular. Observando o termo independente 0 t + 1, vamos tentar uma solução particular da forma:
yp(t) = a t + b c t + d
Derivando:
dotyp(t) = a c
Substituindo na equação matricial:
a c = A a t + b c t + d + 0 t + 1
Isso resulta em:
a = 0 cdot (a t + b) + 1 cdot (c t + d) + 0 c = 1 cdot (a t + b) + 0 cdot (c t + d) + t + 1
Simplificando:
a = c t + d c = a t + b + t + 1
Para que isso seja válido para todo t, os coeficientes dos termos de mesma potência devem ser iguais. Assim:
Da primeira equação:
Coeficiente de t: 0 = c
Termo constante: a = d
Da segunda equação:
Coeficiente de t: 0 = a + 1
Termo constante: c = b + 1
Resolvendo:
a = -1
c = 0
b = -1
Então, a solução particular é:
yp(t) = -t -1 0 cdot t + 0 = -t -1 0
Por fim, a solução geral do sistema é:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^t 1 1 + C2 e^-t 1 -1 + -t -1 0
Para encontrar a solução da equação original ddoty - y = t + 1, observamos que y = y1. Portanto, isolando y1 na solução geral:
y(t) = C1 e^t + C2 e^-t - t -1

Resposta

A solução geral da equação dada é:
y(t) = C1 e^t + C2 e^-t - t -1
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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