Rescrever as equações diferenciais (ou sistemas) como um sistema de equações diferenciais de primeira ordem na forma matricial. Calcule uma matriz fundamental para o sistema. Dê a solução geral do sistema. Dê a solução geral da equação dada.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente pegar a equação diferencial de segunda ordem
e reescrevê-la como um sistema de equações diferenciais de primeira ordem usando matrizes. Depois, vamos calcular uma matriz fundamental para esse sistema e encontrar a solução geral tanto do sistema quanto da equação original. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas de equações diferenciais e matrizes fundamentais.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a equação de segunda ordem em um sistema de primeira ordem. Para isso, a gente define variáveis auxiliares que representem a função e suas derivadas. Vamos definir:
Com essas definições, podemos reescrever a equação original. Sabemos que:
Substituindo na equação original:
Agora, temos duas equações de primeira ordem:
Passo 3
Agora, vamos escrever esse sistema na forma matricial. Para isso, organizamos as equações de forma que tenhamos uma matriz multiplicando o vetor de incógnitas igual a outra matriz (ou vetor, se houver termos independentes).
Nosso sistema é:
Podemos escrever isso em forma matricial como:
$$
+
$$
Aqui, a matriz
representa os coeficientes das variáveis, e o vetor
é o termo independente.
Passo 4
Para encontrar a matriz fundamental do sistema, precisamos resolver a parte homogênea do sistema, ou seja, ignorar o termo independente. Então, nosso sistema homogêneo é:
$$
$$
A matriz fundamental é formada pelas soluções lineares independentes desse sistema. Para encontrá-la, vamos primeiro determinar os autovalores e autovetores da matriz
.
Calculamos os autovalores
resolvendo o determinante:
Onde
é a matriz identidade. Então:
Para
, encontramos o autovetor associado resolvendo
:
Da primeira equação:
. Podemos escolher
.
Para
:
Da primeira equação:
. Podemos escolher
.
Passo 5
Agora que temos os autovalores e autovetores, podemos construir a matriz fundamental
. Cada coluna de
é uma solução do sistema homogêneo. Como os autovalores são reais e distintos, as soluções são exponenciais multiplicadas pelos autovetores.
Então, as soluções são:
Portanto, a matriz fundamental é:
Passo 6
Com a matriz fundamental, podemos escrever a solução geral do sistema homogêneo como uma combinação linear das colunas da matriz fundamental:
Agora, para encontrar a solução geral do sistema completo (inhomogêneo), precisamos encontrar uma solução particular. Observando o termo independente
, vamos tentar uma solução particular da forma:
Derivando:
Substituindo na equação matricial:
Isso resulta em:
Simplificando:
Para que isso seja válido para todo
, os coeficientes dos termos de mesma potência devem ser iguais. Assim:
Da primeira equação:
Coeficiente de
:
Termo constante:
Termo constante:
Da segunda equação:
Coeficiente de
:
Termo constante:
Termo constante:
Resolvendo:
Então, a solução particular é:
Por fim, a solução geral do sistema é:
Para encontrar a solução da equação original
, observamos que
. Portanto, isolando
na solução geral:
Resposta
A solução geral da equação dada é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.