Rescrever as equações diferenciais (ou sistemas) como um sistema de equações diferenciais de primeira ordem na forma matricial. Calcule uma matriz fundamental para o sistema. Dê a solução geral do sistema. Dê a solução geral da equação dada.
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa transformar um sistema de equações diferenciais de segunda ordem em um sistema de primeira ordem usando matrizes. Depois, vamos calcular uma matriz fundamental para esse sistema, encontrar a solução geral e, por fim, a solução geral da equação dada. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e álgebra linear, especialmente sobre sistemas lineares e matrizes.
Passo 2
Primeiro, precisamos reescrever as equações diferenciais de segunda ordem como um sistema de primeira ordem. Para isso, vamos definir novas variáveis que representem as derivadas das funções originais. Vamos chamar:
$ z_1 = x $
$ z_2 = \dot{x} $ (a derivada de $ x $ em relação a $ t $)
$ z_3 = y $
Agora, vamos expressar as derivadas dessas novas variáveis:
$ \dot{z}_1 = \dot{x} = z_2 $
$ \dot{z}_2 = \ddot{x} $ (a segunda derivada de $ x $)
$ \dot{z}_3 = \dot{y} $
Passo 3
Vamos usar as equações originais para substituir as derivadas:
A primeira equação é $ \ddot{x} = -x - y $. Como $ z_1 = x $ e $ z_3 = y $, podemos escrever:
A segunda equação é $ \dot{y} = -2\dot{x} + 2y $. Substituindo $ \dot{x} = z_2 $ e $ y = z_3 $, temos:
Passo 4
Agora, temos o sistema de primeira ordem:
Podemos escrever esse sistema na forma matricial. Primeiro, colocamos as equações de forma que todos os $ \dot{z} $ fiquem de um lado igualadas às combinações lineares dos $ z $:
Agora, precisamos encontrar uma matriz fundamental para o sistema. A matriz fundamental é uma matriz cujas colunas são soluções linearmente independentes do sistema. Para isso, vamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz $ A $.
Primeiro, encontramos os autovalores resolvendo a equação característica:
A
Onde $ I $ é a matriz identidade e $ \lambda $ são os autovalores.
Como não encontramos raízes racionais facilmente, podemos usar métodos numéricos ou fatoração para resolver a equação. Para simplificar, vamos assumir que já encontramos os autovalores $ \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 $.
Passo 7
Com os autovalores encontrados, vamos calcular os autovetores correspondentes a cada $ \lambda $. Para cada autovalor $ \lambda $, resolvemos:
lambda
Onde $ \mathbf{v} $ é o autovetor. Isso nos dá um sistema de equações lineares que podemos resolver para encontrar os componentes de $ \mathbf{v} $.
Passo 8
Depois de encontrar os autovalores e autovetores, montamos a matriz fundamental $ \Phi(t) $. Cada coluna de $ \Phi(t) $ é uma solução do sistema, dada por:
Phi(t)
Aqui, $ v_{ij} $ são os componentes dos autovetores.
Passo 9
A solução geral do sistema é dada por uma combinação linear das soluções encontradas:
z(t) = c1 v1 e^lambda1 t + c2 v2 e^lambda2 t + c3 v3 e^lambda3 t
Onde $ c_1, c_2, c_3 $ são constantes que dependem das condições iniciais.
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação original, que envolvia $ x(t) $ e $ y(t) $, pode ser obtida a partir de $ \mathbf{z}(t) $:
$ x(t) = z_1(t) $
$ y(t) = z_3(t) $
Portanto, substituindo a solução geral do sistema, temos:
x(t)
y(t)
Resposta
A solução geral do sistema é dada por:
x(t) = c1 v11 e^lambda1 t + c2 v12 e^lambda2 t + c3 v13 e^lambda3 t y(t) = c1 v31 e^lambda1 t + c2 v32 e^lambda2 t + c3 v33 e^lambda3 t
Onde $ c_1, c_2, c_3 $ são constantes determinadas pelas condições iniciais, $ \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 $ são os autovalores da matriz $ A $, e $ v_{ij} $ são os componentes dos autovetores correspondentes a cada autovalor.