A research engineer for a tire manufacturer is investigating tire life for a new rubber compound and has built 16 tires and tested them to end-of-life in a road test. The sample mean and standard deviation are 60,139.7 and 3645.94 kilometers. Find a 95 \% confidence interval on mean tire life.

Passo 1

O enunciado pede um intervalo de confiança de 95\% para a média da vida útil dos pneus. As informações fornecidas são:
n=16,\qquad \bar{X}=60139{,}7\text{ km},\qquad s=3645{,}94\text{ km}.
Queremos calcular um intervalo da forma “estimativa ± margem de erro” que contenha o verdadeiro valor da média com 95\% de confiança.

Passo 2

Por que usamos este procedimento? Aqui n=16 é pequeno e a variância populacional é desconhecida (só temos s). Nesses casos usamos a distribuição t de Student em vez da normal. O intervalo de confiança de 1-\alpha para a média é dado por
\bar{X}\pm t_{\alpha/2,\;n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{X} é a média amostral (a estimativa pontual),
  • s é o desvio-padrão amostral,
  • n é o tamanho da amostra,
  • t_{\alpha/2,\;n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade que deixa \alpha/2 de área na cauda direita.

Passo 3

Identificamos os parâmetros do caso:
\alpha = 0{,}05 \quad(\text{porque queremos }95\%), \qquad n-1=15.
Portanto precisamos de t_{0{,}025,\;15}, o valor tal que P(T>t_{0{,}025,\;15})=0{,}025 para T\sim t_{15}. Consultando uma tabela t ou calculadora, obtemos
t_{0{,}025,\;15}\approx 2{,}13145.

Passo 4

Calculemos o erro padrão da média (standard error):
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{3645{,}94}{\sqrt{16}}=\frac{3645{,}94}{4}=911{,}485\text{ km}.
Explicando rápido: \sqrt{n} aparece porque a variabilidade da média amostral diminui com o tamanho da amostra; dividir s por \sqrt{n} dá a dispersão esperada da média.

Passo 5

Agora a margem de erro é
E = t_{0{,}025,\;15}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}} =2{,}13145\times 911{,}485 \approx 1942{,}786\text{ km}.
Mostrei a multiplicação para você ver de onde vem o número: multiplicamos o quantil t pelo erro padrão.

Passo 6

Finalmente construímos o intervalo de confiança:
\text{limite inferior}=\bar{X}-E=60139{,}7-1942{,}786\approx 58196{,}9\text{ km},
\text{limite superior}=\bar{X}+E=60139{,}7+1942{,}786\approx 62082{,}5\text{ km}.
Interpretação prática: com 95\% de confiança, a média verdadeira da vida útil deste composto de borracha está entre aproximadamente 58196{,}9 km e 62082{,}5 km.

Resposta

(58196{,}9\text{ km},\;62082{,}5\text{ km})

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