A research engineer for a tire manufacturer is investigating tire life for a new rubber compound and has built 16 tires and tested them to end-of-life in a road test. The sample mean and standard deviation are
and 3645.94 kilometers. Find a
confidence interval on mean tire life.
Passo 1
O enunciado pede um intervalo de confiança de
para a média da vida útil dos pneus. As informações fornecidas são:
Queremos calcular um intervalo da forma “estimativa ± margem de erro” que contenha o verdadeiro valor da média com
de confiança.
Passo 2
Por que usamos este procedimento? Aqui
é pequeno e a variância populacional é desconhecida (só temos
). Nesses casos usamos a distribuição
de Student em vez da normal. O intervalo de confiança de
para a média é dado por
onde:
-
é a média amostral (a estimativa pontual), -
é o desvio-padrão amostral, -
é o tamanho da amostra, -
é o quantil da distribuição com graus de liberdade que deixa de área na cauda direita.
Passo 3
Identificamos os parâmetros do caso:
Portanto precisamos de
, o valor tal que
para
. Consultando uma tabela
ou calculadora, obtemos
Passo 4
Calculemos o erro padrão da média (standard error):
Explicando rápido:
aparece porque a variabilidade da média amostral diminui com o tamanho da amostra; dividir
por
dá a dispersão esperada da média.
Passo 5
Agora a margem de erro é
Mostrei a multiplicação para você ver de onde vem o número: multiplicamos o quantil
pelo erro padrão.
Passo 6
Finalmente construímos o intervalo de confiança:
Interpretação prática: com
de confiança, a média verdadeira da vida útil deste composto de borracha está entre aproximadamente
km e
km.