Encontre a solução geral das seguintes EDOs.
y^(4)-2 y^prime prime+y=cos x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
y^(4) - 2,y'' + y = cos x
O conteúdo é Equações Diferenciais Ordinárias lineares de coeficientes constantes. Vamos primeiro achar a solução geral da homogênea associada e depois uma solução particular por coeficientes a determinar.

Passo 2

Consideramos a parte homogênea
y^(4) - 2,y'' + y = 0
e montamos o polinômio característico em r:
r^4 - 2,r^2 + 1 = 0

Passo 3

Reconhecemos que r^4 - 2r^2 + 1 = (r^2 - 1)^2. Logo as raízes são
r^2 = 1 Longrightarrow r = +1 (mu<iplicidade 2), r = -1 (mu<iplicidade 2)
Então a solução geral da homogênea é
yh = C1 e^x + C2,x e^x + C3 e^-x + C4,x e^-x

Passo 4

Para a solução particular yp usamos o método dos coeficientes a determinar. O termo não-homogêneo é cos x, e i não é raiz do característico, então experimentamos
yp = Acos x + Bsin x
Calculamos as derivadas necessárias:
yp'' = -Acos x - Bsin x, yp^(4) = Acos x + Bsin x
Logo
yp^(4) - 2yp'' + yp = l(Acos x + Bsin xr) -2l(-Acos x - Bsin xr) +l(Acos x + Bsin xr) =4Acos x +4Bsin x
Queremos isso igual a cos x, então
4A = 1, 4B = 0 Longrightarrow A = tfrac14,;B=0
Assim
yp = tfrac14cos x

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = C1 e^x + C2,x e^x + C3 e^-x + C4,x e^-x + tfrac14cos x

Resposta

boxedy(x) = C1 e^x + C2,x e^x + C3 e^-x + C4,x e^-x + 14cos x

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