Seja
, faça o que se pede.
(a) Determine o domínio de
e suas raízes caso existam.
(b) Estude
em relação ao crescimento e à concavidade.
possui pontos de inflexão?
(c) Verifique as assíntotas verticais e/ou horizontais de
caso existam.
(d) Esboce o gráfico de
.
(a) Determine o domínio de
(b) Estude
(c) Verifique as assíntotas verticais e/ou horizontais de
(d) Esboce o gráfico de
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede:
(a) domínio e raízes;
(b) estudo de crescimento e concavidade, com pontos de inflexão;
(c) assíntotas verticais e horizontais (ou oblíquas);
(d) esboço do gráfico.
O conteúdo é análise de função usando derivadas primeira e segunda e divisão polinomial para assíntotas.
(a) domínio e raízes;
(b) estudo de crescimento e concavidade, com pontos de inflexão;
(c) assíntotas verticais e horizontais (ou oblíquas);
(d) esboço do gráfico.
O conteúdo é análise de função usando derivadas primeira e segunda e divisão polinomial para assíntotas.
Passo 2
Para o domínio, observamos que o denominador
nunca se anula em
pois
. Logo o domínio é todo
.
As raízes vêm de , isto é,
As raízes vêm de
Passo 3
Para o crescimento, calculamos a derivada por regra do quociente:
O numerador
é zero só em
, e o denominador é sempre positivo. Assim
em
, com igual a zero apenas em
. Concluímos que
é crescente em todo
, sem extremos locais (apenas tangente horizontal em
).
Passo 4
Para a concavidade, derivamos novamente:
O denominador é positivo, logo o sinal de
é o de
.
-
em e : concavidade para cima. -
em e : concavidade para baixo.
Muda de sinal em, e , que são pontos de inflexão cujas ordenadas são
Passo 5
Para assíntotas:
Não há verticais pois .
Para , fazemos divisão de polinômios:
Não há verticais pois
Para
e o termo
. Portanto há assíntota oblíqua
Não há assíntotas horizontais.
Passo 6
Esboçando qualitativamente:
– Passa pela origem, é crescente em todo .
– Concavidade muda em .
– Para e
a curva tende à reta
.
– Tem tangente horizontal em .
– Passa pela origem, é crescente em todo
– Concavidade muda em
– Para
– Tem tangente horizontal em
Resposta
(a) Domínio:
. Raiz:
.
(b) , logo
é crescente em
.
, concavidade para cima em
e para baixo em
. Pontos de inflexão em
,
e
.
(c) Sem assíntotas verticais, assíntota oblíqua .
(d) Gráfico: crescente, passa na origem, muda concavidade em , aproxima-se de
nas extremidades.
(b)
(c) Sem assíntotas verticais, assíntota oblíqua
(d) Gráfico: crescente, passa na origem, muda concavidade em