Seja f(x)=\frac{x^{3}}{x^{2}+1}, faça o que se pede.
(a) Determine o domínio de f(x) e suas raízes caso existam.
(b) Estude f(x) em relação ao crescimento e à concavidade. f possui pontos de inflexão?
(c) Verifique as assíntotas verticais e/ou horizontais de f caso existam.
(d) Esboce o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{x^{3}}{x^{2}+1}
e pede:
(a) domínio e raízes;
(b) estudo de crescimento e concavidade, com pontos de inflexão;
(c) assíntotas verticais e horizontais (ou oblíquas);
(d) esboço do gráfico.
O conteúdo é análise de função usando derivadas primeira e segunda e divisão polinomial para assíntotas.

Passo 2

Para o domínio, observamos que o denominador x^{2}+1 nunca se anula em \mathbb{R} pois x^{2}+1\ge1. Logo o domínio é todo \mathbb{R}.
As raízes vêm de x^{3}=0, isto é, x=0.

Passo 3

Para o crescimento, calculamos a derivada por regra do quociente:
f'(x) =\frac{3x^{2}(x^{2}+1)-x^{3}\cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{x^{2}(x^{2}+3)}{(x^{2}+1)^{2}}.
O numerador x^{2}(x^{2}+3)\ge0 é zero só em x=0, e o denominador é sempre positivo. Assim f'(x)\ge0 em \mathbb{R}, com igual a zero apenas em x=0. Concluímos que f é crescente em todo \mathbb{R}, sem extremos locais (apenas tangente horizontal em x=0).

Passo 4

Para a concavidade, derivamos novamente:
f''(x) =\frac{2x\,(3 - x^{2})}{(x^{2}+1)^{3}}.
O denominador é positivo, logo o sinal de f''(x) é o de x(3-x^{2}).
  • f''(x)>0 em (-\infty,-\sqrt{3}) e (0,\sqrt{3}): concavidade para cima.
  • f''(x)<0 em (-\sqrt{3},0) e (\sqrt{3},\infty): concavidade para baixo.
    Muda de sinal em x=-\sqrt{3}, x=0 e x=+\sqrt{3}, que são pontos de inflexão cujas ordenadas são
f(-\sqrt{3})=-\frac{3\sqrt{3}}{4},\quad f(0)=0,\quad f(\sqrt{3})=\frac{3\sqrt{3}}{4}.

Passo 5

Para assíntotas:
Não há verticais pois x^{2}+1\neq0.
Para x\to\pm\infty, fazemos divisão de polinômios:
\frac{x^{3}}{x^{2}+1} = x \;-\;\frac{x}{x^{2}+1},
e o termo \displaystyle\frac{x}{x^{2}+1}\to0. Portanto há assíntota oblíqua
y = x.
Não há assíntotas horizontais.

Passo 6

Esboçando qualitativamente:
– Passa pela origem, é crescente em todo \mathbb{R}.
– Concavidade muda em -\sqrt{3},0,\sqrt{3}.
– Para x\to-\infty e x\to+\infty a curva tende à reta y=x.
– Tem tangente horizontal em x=0.

Resposta

(a) Domínio: \mathbb{R}. Raiz: x=0.
(b) f'(x)=\tfrac{x^{2}(x^{2}+3)}{(x^{2}+1)^{2}}\ge0, logo f é crescente em \mathbb{R}. f''(x)=\tfrac{2x(3-x^{2})}{(x^{2}+1)^{3}}, concavidade para cima em (-\infty,-\sqrt{3})\cup(0,\sqrt{3}) e para baixo em (-\sqrt{3},0)\cup(\sqrt{3},\infty). Pontos de inflexão em \bigl(-\sqrt{3},-\tfrac{3\sqrt{3}}{4}\bigr), (0,0) e \bigl(\sqrt{3},\tfrac{3\sqrt{3}}{4}\bigr).
(c) Sem assíntotas verticais, assíntota oblíqua y=x.
(d) Gráfico: crescente, passa na origem, muda concavidade em -\sqrt{3},0,\sqrt{3}, aproxima-se de y=x nas extremidades.

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