Um reservatório aberto à atmosfera alimenta uma tubulação horizontal de 80 m de comprimento e diâmetro 75 mm . A água escoa até um ponto de consumo situado no mesmo nível do reservatório.
Dados:
  • Vazão: 5 \mathrm{~L} / \mathrm{s}
  • Coeficiente de atrito: \mathrm{f}=0,02
  • Desprezar perdas localizadas

Pede-se:

a) Calcular a perda de carga no trecho
b) Aplicar a equação de Bernoulli entre o reservatório e o ponto de saída
c) Determinar a pressão no ponto de consumo
d) Dizer se existe risco de pressão negativa

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que foi informado):
  • Vazão: Q=5\\ \mathrm{L/s}=0,005\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Comprimento do trecho: L=80\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro da tubulação: D=75\\ \mathrm{mm}=0,075\\ \mathrm{m}.
  • Coeficiente de atrito (Darcy): f=0,02.
  • Desprezar perdas localizadas.
  • O reservatório é aberto à atmosfera e o ponto de consumo está no mesmo nível do reservatório.
O que é pedido:
a) Calcular a perda de carga no trecho (ou seja, h_f).
b) Aplicar a equação de Bernoulli entre a superfície livre do reservatório e o ponto de consumo.
c) Determinar a pressão no ponto de consumo.
d) Dizer se existe risco de pressão negativa (avaliar se há risco de vácuo ou cavitação).

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular a velocidade média da água na tubulação, que é necessária para perda de carga e para Bernoulli.
Fórmula da área da seção:
A=\frac{\pi D^2}{4},
onde D é o diâmetro da tubulação. Explicando: a área é a área do círculo de raio D/2.
Cálculo numérico:
A=\frac{\pi (0,075)^2}{4}=0,004418\\ \mathrm{m^2}\quad(\text{aprox.}).
Velocidade média:
V=\frac{Q}{A},
onde Q é a vazão volumétrica e A a área da seção.
Cálculo numérico:
V=\frac{0,005}{0,004418}=1{,}132\\ \mathrm{m/s}\quad(\text{aprox.}).
Observação: converti 5\\ \mathrm{L/s} para 0,005\\ \mathrm{m^3/s} porque todas as fórmulas usam SI.

Passo 3

Calcular a perda de carga por atrito usando a equação de Darcy–Weisbach. Vou explicar a fórmula e as variáveis.
Fórmula de Darcy–Weisbach:
h_f=f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g},
onde
  • h_f é a perda de carga (em metros de coluna d’água),
  • f é o coeficiente de atrito de Darcy (adimensional),
  • L é o comprimento do trecho (m),
  • D é o diâmetro interno da tubulação (m),
  • V é a velocidade média (m/s),
  • g é a aceleração da gravidade ( g\approx9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}).
Explicando: a perda de carga é proporcional à energia cinética ( V^2/2g) multiplicada por um fator que conta comprimento relativo L/D e coeficiente de atrito f.
Cálculo passo a passo:
  • V^2/(2g)=\dfrac{(1{,}132)^2}{2\cdot9{,}81}=0{,}06532\\ \mathrm{m}.
  • L/D=\dfrac{80}{0{,}075}=1066{,}666\ldots.
  • f\cdot\frac{L}{D}=0{,}02\cdot1066{,}666\ldots=21{,}3333\ldots.
Portanto
h_f=21{,}3333\cdot0{,}06532=1{,}39\\ \mathrm{m}\quad(\text{aprox.}).
Interpretação rápida: para essa vazão e tubulação, perde-se cerca de 1{,}39\\ \mathrm{m} de carga por atrito ao longo dos 80\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Aplicar a equação de Bernoulli entre a superfície livre do reservatório (ponto 1) e o ponto de consumo na tubulação (ponto 2), incluindo a perda de carga h_f.
Escrevendo Bernoulli com perdas:
\frac{p_1}{\gamma}+z_1+\frac{V_1^2}{2g}=\frac{p_2}{\gamma}+z_2+\frac{V_2^2}{2g}+h_f,
onde
  • p é a pressão absoluta (Pa),
  • \gamma=\rho g é o peso específico (N/m^3),
  • z é a cota geométrica (m),
  • V é a velocidade (m/s),
  • h_f é a perda de carga (m).
Explicando cada termo: \dfrac{p}{\gamma} é a altura equivalente de pressão, z é a altura geométrica e \dfrac{V^2}{2g} é a altura equivalente de velocidade (energia cinética por unidade de peso). O somatório no lado esquerdo é a energia por unidade de peso no ponto 1; iguala-se à energia no ponto 2 mais as perdas.
Agora simplificações válidas para este problema:
  • A superfície livre do reservatório está à atmosfera, então p_1=p_{atm}.
  • A superfície livre tem área grande, então V_1\approx0.
  • O ponto de consumo está no mesmo nível do reservatório, então z_1=z_2.
  • A velocidade no ponto 2 é V_2=V calculada no passo 2.
Com essas simplificações, a equação fica:
\frac{p_{atm}}{\gamma}+z+\;0=\frac{p_2}{\gamma}+z+\frac{V^2}{2g}+h_f.
Cancelando z dos dois lados e isolando p_2:
\frac{p_2}{\gamma}=\frac{p_{atm}}{\gamma}-\frac{V^2}{2g}-h_f.
Multiplicando por \gamma=\rho g e lembrando que \rho é a massa específica da água ( \rho\approx1000\\ \mathrm{kg/m^3}):
p_2=p_{atm}-\rho\left(\frac{V^2}{2}+g\,h_f\right).
Esta é a expressão final (aplicação de Bernoulli) que dá a pressão absoluta no ponto 2 em função de p_{atm}, V e h_f.

Passo 5

Calcular numericamente a pressão no ponto de consumo usando a expressão do passo anterior.
Dados usados:
  • p_{atm}=101325\\ \mathrm{Pa} (pressão atmosférica padrão).
  • \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • V=1{,}132\\ \mathrm{m/s} (do passo 2).
  • h_f=1{,}39\\ \mathrm{m} (do passo 3).
  • g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
Cálculos intermediários:
\frac{V^2}{2}=\frac{(1{,}132)^2}{2}=0{,}6406\\ \mathrm{m^2/s^2}.
g\,h_f=9{,}81\cdot1{,}39=13{,}66\\ \mathrm{m^2/s^2}.
\frac{V^2}{2}+g\,h_f=0{,}6406+13{,}66=14{,}30\\ \mathrm{m^2/s^2}.
Multiplicando por \rho=1000:
\rho\left(\frac{V^2}{2}+g\,h_f\right)=1000\cdot14{,}30=14300\\ \mathrm{Pa}\\ (\text{aprox.}).
Portanto
p_2=p_{atm}-14300\\ \mathrm{Pa}=101325-14300=87025\\ \mathrm{Pa}\\ (\text{aprox.}).
Para leitura prática, converto para kPa e também mostro a pressão manométrica (em relação à atmosfera):
  • Pressão absoluta: p_2\approx87{,}0\\ \mathrm{kPa}.
  • Pressão manométrica (gauge): p_{2,\,gauge}=p_2-p_{atm}\approx-14{,}3\\ \mathrm{kPa} (ou seja, 14{,}3\\ \mathrm{kPa} abaixo da atmosfera).

Passo 6

Análise do risco de pressão negativa (vácuo/cavitação):
Primeiro esclarecer termos:
  • “Pressão negativa” às vezes significa pressão manométrica negativa (ou seja, abaixo da pressão atmosférica). Aqui o valor manométrico é p_{2,\,gauge}\approx-14{,}3\\ \mathrm{kPa}, então em relação à atmosfera a pressão está realmente mais baixa.
  • Contudo o importante em hidráulica é se a pressão absoluta cai até zero ou até a pressão de vapor da água (o que poderia causar cavitação ou vácuo). Aqui a pressão absoluta calculada é p_2\approx87{,}0\\ \mathrm{kPa}, muito maior que zero e bem acima da pressão de vapor da água à temperatura ambiente (por exemplo, p_{vapor}\sim2{,}3\\ \mathrm{kPa} a 20^\circ\mathrm{C}).
Conclusão: não há risco de pressão absoluta negativa nem de cavitação: a pressão absoluta no ponto de consumo é positiva ( \approx87{,}0\\ \mathrm{kPa}), embora seja 14{,}3\\ \mathrm{kPa} abaixo da pressão atmosférica (pressão manométrica negativa). Em termos práticos, não haverá vácuo nem cavitação neste caso.

Passo 7

Resumo final dos resultados numéricos e interpretação curta:
  • A perda de carga por atrito é moderada ( \sim1{,}4\\ \mathrm{m}), o que explica a queda de pressão no trecho.
  • A pressão no ponto de consumo é menor que a atmosférica, em termos manométricos, mas permanece positiva em termos absolutos — logo nada de ruptura de vácuo ou cavitação.
  • Lembrete: se houvesse trocas de carga local (válvulas, curvas fechadas) e estas não fossem desprezadas, a perda de carga seria maior e a pressão no ponto poderia ficar ainda menor; sempre verificar perdas localizadas em projetos práticos.

Resposta

(a) h_f\approx1{,}39\\ \mathrm{m}.
(b) Equação de Bernoulli aplicada (com perda h_f):
\frac{p_{atm}}{\gamma}+z_1+\frac{0^2}{2g}=\frac{p_2}{\gamma}+z_2+\frac{V^2}{2g}+h_f
que, com z_1=z_2, dá
p_2=p_{atm}-\rho\!\left(\frac{V^2}{2}+g\,h_f\right).
(c) Pressão no ponto de consumo: p_2\approx87{,}0\\ \mathrm{kPa} (absoluta), isto é p_{2,\,gauge}\approx-14{,}3\\ \mathrm{kPa}.
(d) Risco de pressão negativa: não — a pressão absoluta é positiva ( \approx87{,}0\\ \mathrm{kPa}) e bem acima da pressão de vapor da água, logo não há risco de vácuo/cavitação.

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