Gás escapa de um balão esférico a uma taxa constante de
. Qual a taxa de variação da área da superfície do balão quando o raio é 12 m ?
Passo 1
O enunciado trata de uma esfera cujo volume diminui porque o gás escapa a uma taxa constante de
. Precisamos usar derivadas de funções que relacionam volume e área à razão de variação do raio para encontrar a taxa de variação da área quando o raio vale
.
Passo 2
A fórmula do volume de uma esfera de raio
é
Derivando em relação ao tempo
, obtemos a relação entre
e
:
Passo 3
Como o gás escapa, a taxa de variação do volume é negativa e igual a
. Logo,
Passo 4
A área da superfície da esfera é dada por
Derivando em relação ao tempo, relacionamos
com
:
Passo 5
Substituindo
e
em
, temos
Resposta
A área da superfície do balão diminui à taxa de
quando o raio é
.