Gás escapa de um balão esférico a uma taxa constante de 2 m^3 / min. Qual a taxa de variação da área da superfície do balão quando o raio é 12 m ?

Passo 1

O enunciado trata de uma esfera cujo volume diminui porque o gás escapa a uma taxa constante de 2 m^3/min. Precisamos usar derivadas de funções que relacionam volume e área à razão de variação do raio para encontrar a taxa de variação da área quando o raio vale 12 m.

Passo 2

A fórmula do volume de uma esfera de raio r é
V = 43pi r^3
Derivando em relação ao tempo t, obtemos a relação entre dVdt e drdt:
dVdt = 4pi r^2 ,drdt

Passo 3

Como o gás escapa, a taxa de variação do volume é negativa e igual a -2 m^3/min. Logo,
drdt = dVdt4pi r^2 = -24pi,(12)^2 = -1288pi m/min

Passo 4

A área da superfície da esfera é dada por
A = 4pi r^2
Derivando em relação ao tempo, relacionamos dAdt com drdt:
dAdt = 8pi r ,drdt

Passo 5

Substituindo r=12 m e drdt=-1288pi m/min em dAdt, temos
dAdt = 8pi cdot 12 cdot l(-1288pir) = -96288 = -13 m^2/min

Resposta

A área da superfície do balão diminui à taxa de -tfrac13 m^2/min quando o raio é 12 m.

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