Use os testes de comparação para determinar se as séries convergem ou divergem:
sumn=1^infty sen(1n)

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^inftysin!l(tfrac1nr),
usando testes de comparação. Como os termos são positivos, vamos aplicar o teste de comparação de limite comparando com a série harmônica
sumn=1^infty1n

Passo 2

Definimos
L ;=;limntoinftysinl(tfrac1nr)tfrac1n
Usamos o fato clássico de que
limxto0sin xx=1
Aqui x=1/nto0 quando ntoinfty, logo
L = 1

Passo 3

O teste de comparação de limite diz que, se
0< L <infty,
então sumsin(1/n) e sum1/n têm o mesmo comportamento de convergência. Como a série harmônica
sumn=1^infty1n
é divergente, concluímos que
sumn=1^inftysin!l(tfrac1nr)
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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