Resolva a equação separável y’=2×y²

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial separável $ y’ = 2y^2 $. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais, onde a gente aprende a encontrar funções que descrevem como algo muda. Para resolver, vamos usar o método de separação de variáveis, que basicamente separa os termos com $ y $ dos termos com $ x $ para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação $ y’ = 2y^2 $ de uma forma que a gente possa separar as variáveis. Lembrando que $ y’ $ é a derivada de $ y $ em relação a $ x $, então podemos escrever:
y' = 2y^2
Agora, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $. Para isso, dividimos ambos os lados por $ y^2 $ e multiplicamos por $ dx $:
y'

Passo 3

Com as variáveis separadas, a gente agora integra os dois lados da equação. A integral do lado esquerdo envolve $ y $, e do lado direito, $ x $.
Integral do lado esquerdo:
y
Integral do lado direito:
x

Passo 4

Agora, igualamos as integrais que encontramos:
-1y + C1 = 2x + C2
Podemos simplificar as constantes, já que $ C_1 - C_2 $ também é uma constante qualquer, que vamos chamar de $ C $. Assim:
C1 - C2

Passo 5

Para encontrar $ y $, vamos isolar a variável. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1:
y
Agora, invertendo os dois lados para resolver para $ y $:
1y = -2x - C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial $ y’ = 2y^2 $ é:
y' = 2y^2
Onde $ C $ é uma constante real qualquer.

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