Resolva a equação separável y’=2×y²
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial separável $ y’ = 2y^2 $. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais, onde a gente aprende a encontrar funções que descrevem como algo muda. Para resolver, vamos usar o método de separação de variáveis, que basicamente separa os termos com $ y $ dos termos com $ x $ para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação $ y’ = 2y^2 $ de uma forma que a gente possa separar as variáveis. Lembrando que $ y’ $ é a derivada de $ y $ em relação a $ x $, então podemos escrever:
Agora, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $. Para isso, dividimos ambos os lados por $ y^2 $ e multiplicamos por $ dx $:
Passo 3
Com as variáveis separadas, a gente agora integra os dois lados da equação. A integral do lado esquerdo envolve $ y $, e do lado direito, $ x $.
Integral do lado esquerdo:
Integral do lado direito:
Passo 4
Agora, igualamos as integrais que encontramos:
Podemos simplificar as constantes, já que $ C_1 - C_2 $ também é uma constante qualquer, que vamos chamar de $ C $. Assim:
Passo 5
Para encontrar $ y $, vamos isolar a variável. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1:
Agora, invertendo os dois lados para resolver para $ y $:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial $ y’ = 2y^2 $ é:
Onde $ C $ é uma constante real qualquer.