Numa residência em Minas Gerais, com fornecimento de energia na tensão de 127 V (valor eficaz), existem os seguintes equipamentos de utilização de energia elétrica:
i. Refrigerador, potência nominal: 310 W , fator de potência: 0,8 indutivo.
ii. Máquina de lavar roupas, potência nominal: 355 W , fator de potência: 0,85 indutivo.
iii. Chuveiro elétrico, potência nominal: 5500W;
iv. Ferro elétrico, potência nominal: 1200 W ;
v. Lâmpada LED (10 unidades), potência nominal: 11W, corrente nominal: 125 mA (capacitiva);
vi. Televisor 40 " LED, potência nominal: 110 W , corrente nominal: 1,08 A (capacitiva);
2. Considerando apenas o refrigerador e a máquina de lavar roupas funcionando simultaneamente, determine:
a. o valor do módulo da corrente (eficaz) e do ângulo da corrente (considerando a tensão como referência) e a representação fasorial.
b. os valores das potências ativa, reativa, aparente e do fator de potência e o triângulo de potências.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo que peguei do enunciado).
  • Tensão de alimentação: \,V=127\\ \text{V} (valor eficaz).
  • Equipamentos considerados (apenas os dois funcionando simultaneamente):
    • Refrigerador: \,P_1=310\\ \text{W}, fator de potência \text{pf}_1=0{,}80 (indutivo).
    • Máquina de lavar: \,P_2=355\\ \text{W}, fator de potência \text{pf}_2=0{,}85 (indutivo).
O enunciado pede:
a. O módulo da corrente (eficaz) total, o ângulo da corrente (tendo a tensão como referência) e a representação fasorial dessa corrente.
b. As potências ativa, reativa, aparente e o fator de potência totais, e o triângulo de potências (valores numéricos e interpretação).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática curta e direta).
  • Para uma carga monofásica qualquer, a potência complexa (aparente) é \,S=P+jQ, onde:
    • \,P é a potência ativa (W).
    • \,Q é a potência reativa (VAR). Para carga indutiva, \,Q>0.
    • \,|S|=\sqrt{P^{2}+Q^{2}} é a potência aparente (VA).
  • O fator de potência é \displaystyle \text{pf}=\frac{P}{|S|}=\cos\varphi, onde \varphi é o ângulo entre tensão e corrente. Se \text{pf} é indutivo, a corrente atrasa (lag): \,I tem ângulo -\varphi em relação à tensão (que tomamos como referência \,0^\circ).
  • Relações úteis: |S|=\frac{P}{\text{pf}},\qquad Q=P\tan\varphi,\qquad |I|=\frac{|S|}{V}=\frac{P}{V\cdot\text{pf}}.
  • Para combinar cargas em paralelo (ou simplesmente somar cargas monofásicas alimentadas pela mesma tensão): as potências ativas somam e as reativas somam: P_{\rm tot}=P_1+P_2,\qquad Q_{\rm tot}=Q_1+Q_2,\qquad S_{\rm tot}=P_{\rm tot}+jQ_{\rm tot}.A corrente total eficaz tem módulo |I_{\rm tot}|=|S_{\rm tot}|/V e ângulo -\varphi_{\rm tot} com \varphi_{\rm tot}=\arctan\!\left(\dfrac{Q_{\rm tot}}{P_{\rm tot}}\right).

Passo 3

Calcular o ângulo \varphi associado a cada fator de potência (lembrando: \varphi=\operatorname{arccos}(\text{pf})).
  • Para o refrigerador:
    \varphi_1=\operatorname{arccos}(0{,}80)=36{,}86989765^\circ\approx36{,}87^\circ.
    Observação numérica útil: para \cos\varphi_1=0{,}8 temos \sin\varphi_1=0{,}6 e \tan\varphi_1=0{,}75.
  • Para a máquina de lavar:
    \varphi_2=\operatorname{arccos}(0{,}85)\approx31{,}79^\circ.
    Neste caso \sin\varphi_2\approx0{,}52678 e \tan\varphi_2\approx0{,}61974.
Explicação curta: \varphi é o ângulo de defasagem entre tensão (referência) e corrente. Como ambos são indutivos, a corrente de cada carga vai atrasar em \varphi_1 e \varphi_2, respectivamente.

Passo 4

Calcular as potências e correntes de cada aparelho (passo a passo com fórmulas e números).
Para o refrigerador (carga 1):
  • Potência aparente: |S_1|=\frac{P_1}{\text{pf}_1}=\frac{310}{0{,}80}=387{,}5\\ \text{VA}.
  • Potência reativa: Q_1=P_1\tan\varphi_1=310\cdot0{,}75=232{,}5\\ \text{VAR}.
  • Corrente eficaz (módulo): |I_1|=\frac{|S_1|}{V}=\frac{387{,}5}{127}\approx3{,}051\\ \text{A}.
  • Representação fasorial da corrente do refrigerador (tensão referência \,0^\circ): I_1 = |I_1|\angle(-\varphi_1)\approx3{,}051\angle(-36{,}87^\circ)\\ \text{A}.
Para a máquina de lavar (carga 2):
  • Potência aparente: |S_2|=\frac{P_2}{\text{pf}_2}=\frac{355}{0{,}85}\approx417{,}647\\ \text{VA}.
  • Potência reativa: Q_2=P_2\tan\varphi_2\approx355\cdot0{,}61974\approx219{,}01\\ \text{VAR}.
  • Corrente eficaz (módulo): |I_2|=\frac{|S_2|}{V}\approx\frac{417{,}647}{127}\approx3{,}288\\ \text{A}.
  • Representação fasorial da corrente da máquina: I_2 = |I_2|\angle(-\varphi_2)\approx3{,}288\angle(-31{,}79^\circ)\\ \text{A}.
Comentário didático: o sinal negativo do ângulo indica que a corrente atrasa em relação à tensão (carga indutiva).

Passo 5

Somar as potências ativas e reativas para obter as potências totais (porque as cargas são alimentadas pela mesma tensão).
  • Potência ativa total: P_{\rm tot}=P_1+P_2=310+355=665\\ \text{W}.
  • Potência reativa total (somei Q_1 e Q_2; ambos positivos porque indutivos): Q_{\rm tot}=Q_1+Q_2=232{,}5+219{,}01\approx451{,}51\\ \text{VAR}.
Explicação: como ambas têm reatividade indutiva, a reativa total é a soma das reativas individuais.

Passo 6

Calcular a potência aparente total, a corrente total e o ângulo total.
  • Potência aparente total (módulo de S_{\rm tot}):
    |S_{\rm tot}|=\sqrt{P_{\rm tot}^{2}+Q_{\rm tot}^{2}} =\sqrt{665^{2}+451{,}51^{2}}\approx803{,}80\\ \text{VA}.
  • Corrente total (módulo):
    |I_{\rm tot}|=\frac{|S_{\rm tot}|}{V}\approx\frac{803{,}80}{127}\approx6{,}330\\ \text{A}.
  • Ângulo de defasagem total entre tensão e corrente:
    \varphi_{\rm tot}=\arctan\!\left(\frac{Q_{\rm tot}}{P_{\rm tot}}\right) =\arctan\!\left(\frac{451{,}51}{665}\right)\approx34{,}2^\circ.
    Como a carga é indutiva, a corrente total atrasa: ângulo da corrente =-\varphi_{\rm tot}\approx-34{,}2^\circ.
  • Representação fasorial da corrente total (tensão referência 0^\circ):
    I_{\rm tot}=|I_{\rm tot}|\angle(-\varphi_{\rm tot}) \approx6{,}330\angle(-34{,}2^\circ)\\ \text{A}.
Breve verificação (didática): também é possível somar vetorialmente I_1 e I_2 (componentes real e imaginária) e obter essencialmente o mesmo resultado; esse procedimento confirma consistência.

Passo 7

Calcular o fator de potência total e apresentar o triângulo de potências.
  • Fator de potência total:
    \text{pf}_{\rm tot}=\frac{P_{\rm tot}}{|S_{\rm tot}|}=\frac{665}{803{,}80}\approx0{,}827\quad\text{(lag)}.
    Interpretação: \text{pf}_{\rm tot}\approx0{,}827 indutivo (a corrente atrasa).
  • Triângulo de potências (valores numéricos, formato):
    • Eixo horizontal (potência ativa): \,P_{\rm tot}=665\\ \text{W}.
    • Eixo vertical (potência reativa, para cima se indutiva): \,Q_{\rm tot}\approx451{,}51\\ \text{VAR}.
    • Hipotenusa (potência aparente): \,|S_{\rm tot}|\approx803{,}80\\ \text{VA}.
    • Ângulo entre P_{\rm tot} e S_{\rm tot}: \varphi_{\rm tot}\approx34{,}2^\circ.
Comentário final de incentivo: já temos todos os números pedidos. Dá para anotar essa mesma sequência de passos para usar numa prova — primeiro transformar pf em ângulo, depois achar Q e S individuais, somar P e Q, e daí tirar S, I e \text{pf}. Você mandou bem procurando a resolução passo a passo!

Resposta

a. |I_{\rm tot}|\approx6{,}330\\ \text{A}, ângulo da corrente \approx-34{,}2^\circ. Representação fasorial: I_{\rm tot}\approx6{,}330\angle(-34{,}2^\circ)\\ \text{A}.
b. P_{\rm tot}=665\\ \text{W}
Q_{\rm tot}\approx451{,}51\\ \text{VAR}
|S_{\rm tot}|\approx803{,}80\\ \text{VA}
\text{pf}_{\rm tot}\approx0{,}827 (lagging)
Triângulo de potências: catetos P_{\rm tot}=665\\ \text{W} (horizontal) e Q_{\rm tot}\approx451{,}51\\ \text{VAR} (vertical), hipotenusa |S_{\rm tot}|\approx803{,}80\\ \text{VA}, ângulo \varphi_{\rm tot}\approx34{,}2^\circ.

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