Resíduos líquidos tóxicos com densidade de 1752 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} estão fluindo através de uma seção de tubo com raio de 0,312 \mathrm{~m} a uma velocidade de 1,64 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. (a) Qual é a velocidade dos resíduos depois que eles passam por uma constrição e entram em uma segunda seção de tubo com um raio de 0,222 \mathrm{~m} ? (b) Se os resíduos estão sob uma pressão de 850000 Pa na primeira seção de tubo, qual é a pressão na segunda seção (constrita) do tubo?

Passo 1

O enunciado fornece dados e faz duas perguntas claras. Dados fornecidos:
\rho=1752\\ \mathrm{kg/m^3} (densidade do líquido),
r_1=0,312\\ \mathrm{m} (raio da primeira seção do tubo),
v_1=1,64\\ \mathrm{m/s} (velocidade na primeira seção),
r_2=0,222\\ \mathrm{m} (raio da seção constrita, segunda seção),
P_1=850000\\ \mathrm{Pa} (pressão na primeira seção).
Perguntas:
(a) Qual é a velocidade v_2 do líquido na segunda seção (constrita)?
(b) Qual é a pressão P_2 na segunda seção?

Passo 2

Conservação de massa (equação da continuidade) para fluido incompressível e escoamento estacionário diz que a vazão volumétrica é constante entre as seções. Em fórmula:
A_1 v_1 = A_2 v_2,
onde A é a área da seção transversal e v é a velocidade média do fluido nessa seção.
Explicando as variáveis:
  • A_1 é a área da primeira seção: para um tubo circular A=\pi r^2.
  • v_1 é a velocidade conhecida na primeira seção.
  • A_2 e v_2 são área e velocidade na segunda seção (procurada).
Isolando v_2:
v_2 = v_1 \frac{A_1}{A_2} = v_1 \frac{\pi r_1^2}{\pi r_2^2} = v_1\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2.
Agora calculamos numericamente. Primeiro calculemos as áreas (vou mostrar os passos numéricos):
r_1^2 = (0,312)^2 = 0,097344,
r_2^2 = (0,222)^2 = 0,049284.
A razão das áreas:
\frac{A_1}{A_2}=\frac{r_1^2}{r_2^2}=\frac{0,097344}{0,049284}\approx 1,975165.
Portanto
v_2 = 1,64\times 1,975165 \approx 3,23927\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação rápida: a área diminuiu na constrição, então a velocidade aumenta (como mostra o número acima).

Passo 3

Para relacionar pressões usamos o princípio da conservação de energia para escoamentos ideais: a equação de Bernoulli (para escoamento incompressível, sem perdas e em regime estacionário) entre duas seções diz:
P_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2.
Aqui:
  • P_1 e P_2 são as pressões nas seções 1 e 2 respectivamente,
  • \rho é a densidade do fluido,
  • v_1 e v_2 são as velocidades nessas seções.
Isolando P_2:
P_2 = P_1 + \tfrac{1}{2}\rho\left(v_1^2 - v_2^2\right).
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calculemos os quadrados das velocidades:
v_1^2 = (1,64)^2 = 2,6896,
v_2^2 \approx (3,23927)^2 \approx 10,49287.
A diferença:
v_1^2 - v_2^2 \approx 2,6896 - 10,49287 = -7,80327.
Metade da densidade:
\tfrac{1}{2}\rho = \tfrac{1}{2}\times 1752 = 876\\ \mathrm{kg/m^3}.
Logo o termo dinâmico:
\tfrac{1}{2}\rho\left(v_1^2 - v_2^2\right) = 876\times(-7,80327)\approx -6835{,}66\\ \mathrm{Pa}.
Finalmente:
P_2 = 850000 - 6835{,}66 \approx 843164{,}34\\ \mathrm{Pa}.
Comentário físico curto: como a velocidade aumentou na constrição, a pressão caiu, o que é consistente com Bernoulli.

Passo 4

Resumo dos resultados numéricos arredondados de forma prática para usar na prova:
  • velocidade na seção constrita: v_2\approx 3,24\\ \mathrm{m/s} (arredondando para duas casas decimais),
  • pressão na seção constrita: P_2\approx 8{,}43\times 10^5\\ \mathrm{Pa} (ou 843164\\ \mathrm{Pa} se quiser valor mais exato).

Resposta

v_2\approx 3,23927\\ \mathrm{m/s}
P_2\approx 843164{,}34\\ \mathrm{Pa}

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