Resíduos líquidos tóxicos com densidade de
estão fluindo através de uma seção de tubo com raio de
a uma velocidade de
. (a) Qual é a velocidade dos resíduos depois que eles passam por uma constrição e entram em uma segunda seção de tubo com um raio de
? (b) Se os resíduos estão sob uma pressão de 850000 Pa na primeira seção de tubo, qual é a pressão na segunda seção (constrita) do tubo?
Passo 1
O enunciado fornece dados e faz duas perguntas claras. Dados fornecidos:
(densidade do líquido),
(raio da primeira seção do tubo),
(velocidade na primeira seção),
(raio da seção constrita, segunda seção),
(pressão na primeira seção).
Perguntas:
(a) Qual é a velocidade do líquido na segunda seção (constrita)?
(b) Qual é a pressão na segunda seção?
(a) Qual é a velocidade
(b) Qual é a pressão
Passo 2
Conservação de massa (equação da continuidade) para fluido incompressível e escoamento estacionário diz que a vazão volumétrica é constante entre as seções. Em fórmula:
onde
é a área da seção transversal e
é a velocidade média do fluido nessa seção.
Explicando as variáveis:
-
é a área da primeira seção: para um tubo circular . -
é a velocidade conhecida na primeira seção. -
e são área e velocidade na segunda seção (procurada).
Isolando
:
Agora calculamos numericamente. Primeiro calculemos as áreas (vou mostrar os passos numéricos):
A razão das áreas:
Portanto
Interpretação rápida: a área diminuiu na constrição, então a velocidade aumenta (como mostra o número acima).
Passo 3
Para relacionar pressões usamos o princípio da conservação de energia para escoamentos ideais: a equação de Bernoulli (para escoamento incompressível, sem perdas e em regime estacionário) entre duas seções diz:
Aqui:
-
e são as pressões nas seções 1 e 2 respectivamente, -
é a densidade do fluido, -
e são as velocidades nessas seções.
Isolando
:
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calculemos os quadrados das velocidades:
A diferença:
Metade da densidade:
Logo o termo dinâmico:
Finalmente:
Comentário físico curto: como a velocidade aumentou na constrição, a pressão caiu, o que é consistente com Bernoulli.
Passo 4
Resumo dos resultados numéricos arredondados de forma prática para usar na prova:
- velocidade na seção constrita:
(arredondando para duas casas decimais), - pressão na seção constrita:
(ou se quiser valor mais exato).